Funções individuais

Esta calculadora permitirá avaliar se uma função é biunívoca ou não, mostrando todos os passos. A primeira coisa que você precisa fazer é fornecer a função. Isso pode ser algo simples, linear ou quadrático como 'y = x^2 - 1', ou você pode decidir optar por um função racional como 'f(x) = (x-1)/(x+3)'.

Então, você está satisfeito com o que forneceu e se certificou de que a função é válida, clique no botão "Calcular", para obter todas as etapas do processo que lhe são mostradas.

O conceito de função injetora é muito importante em Álgebra e Cálculo. Existem muitas maneiras simples de testar um para um, uma delas é a Teste de linha horizontal , mas devido à sua natureza, é mais fácil de usar para refutar que uma função é injetora. Para provar que uma função é injetiva, precisamos de um resolução de equações , processo analítico.

O que é um processo um-para-um

Simplificando, uma função um-para-um ou injetiva é aquela que para dois $x_1$ e $x_2$ diferentes, os valores de suas imagens através de $f(x)$ são diferentes, o que significa matematicamente

$$\displaystyle x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$$

Alguns instrutores gostam de escrevê-la de maneira um pouco diferente, mas ainda de forma equivalente: A função é injetora se

$$\displaystyle f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$$

Isto quer dizer de uma forma bastante sofisticada que, se o gráfico da função cruzar o mesmo valor (uma linha horizontal), isso só acontecerá quando o ponto for o mesmo. Então, tudo o que você está dizendo é que não existem dois pontos diferentes onde uma linha horizontal o cruza. Então, você está apenas reiterando o Teste de linha horizontal .

Como verificar se uma função é injetora ou não

• Passo 1: Comece com a função original f(x) e defina a equação y = f(x)
• Passo 2: Tente resolver para x
• Etapa 3: Se você encontrar mais de uma solução, então a função NÃO é injetiva, e se tiver uma solução ou nenhuma solução, então a função é injetiva

Normalmente, você fará algumas inspeções básicas para ter certeza de que essa função claramente não é um-para-um, possivelmente porque você pode facilmente encontrar uma linha horizontal para fazer o HLT falhar.

A seguir, você procurará algumas propriedades visuais básicas: A função está sempre aumentando (então é bijetora), e o mesmo vale para o caso em que a função está sempre diminuindo.

Como um para um está relacionado com encontrar o inverso

Dito em termos simples, para encontrar a inversa de uma função, a função DEVE ser bijetora, pelo menos em um determinado subdomínio. Muitas vezes restringimos o domínio, então criamos uma função 1 para 1 em um domínio restrito, que de outra forma não seria 1 para 1.

Por exemplo, $f(x) = x^2$ não é um para um no geral. Porque você pode pegar dois pontos diferentes $x_1 = -1$ e $x_2 = 1$ e descobrir que $f(x_1) = (-1)^2 = 1$ e $f(1) = 1^2 = 1$, o que significa que a propriedade (a caracterização um-para-um)

$$\displaystyle x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$$

não está satisfeito. Agora, se em vez de considerarmos a linha real completa $\R$, considerarmos apenas os valores positivos, podemos concluir que a função é bijetora nos valores reais positivos (Dica: Nesse subdomínio, a função é crescente)

Existe uma fórmula para avaliar se uma função é injetora?

Infelizmente não. Quero dizer, pode-se pensar em $\displaystyle x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$ como uma fórmula um-para-um, mas esta é mais uma condição lógica do que uma fórmula.

Porém, existe um procedimento genérico muito amplo que é usado para testar se uma função é injetora ou não, que é o que você vê explicado acima. Não existe uma “fórmula um-para-um”. Se precisássemos nos contentar com um, deveria ser y = f(x).

E, acabamos de resolver para x. Nada mais nada menos. Em última análise, vai depender do que se trata f(x). Uma função muito complexa e complicada pode apresentar muitas dificuldades para ser resolvida, e talvez você precise de uma calculadora de funções para ela, e mesmo com uma calculadora de funções você pode falhar.

Você provavelmente está pensando, por que isso? É porque, no fundo, não temos técnicas para resolver TODAS as equações. Apenas fazemos o que podemos com alguns tipos específicos de equações, mas estamos longe de saber uma maneira EXATA de resolver todas as equações.

Exemplo: função um para um

A seguinte função é injetiva: $f(x) = \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

Solução:

Recebemos a seguinte função:

$$f(x) = \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$$

Então, para avaliar se a função dada é injetiva ou não, precisamos resolver $x$ e determinar se não há solução, uma solução ou múltiplas soluções. A equação inicial é

$$y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$$

Colocando $x$ no lado esquerdo e $y$ e a constante no lado direito obtemos

$$\displaystyle -\frac{1}{4}x = -y -\left(-\frac{5}{4}\right)$$

Agora, resolvendo para $x$, dividindo ambos os lados da equação por $-\frac{1}{4}$, obtém-se o seguinte

$$\displaystyle x=-\frac{1}{-\frac{1}{4}}y+\frac{\frac{5}{4}}{-\frac{1}{4}}$$

e simplificando, finalmente obtemos o seguinte

$$\displaystyle x=4y-5$$

Portanto, a resolução de $x$ para determinada equação linear leva a $x=4y-5$ e é apenas uma solução real, então a função dada é bijetora.

Conclusão

Com base no que foi encontrado na seção anterior, pode-se concluir que a função dada é bijetora.

Graficamente:

Exemplo: função 1 para 1

Prove ou refute que a seguinte função é injetora: $f(x) = \frac{1}{3} x^2 - 5x - \frac{5}{6}$

Solução: Para avaliar se a função dada é injetiva ou não, precisamos resolver $x$ e determinar se não há solução, uma solução ou múltiplas soluções. A equação inicial que precisamos usar é:

$$y=\frac{1}{3}x^2-5x-\frac{5}{6}$$

Etapa Inicial: Neste caso, primeiro precisamos simplificar a equação dada e, para isso, realizamos as seguintes etapas de simplificação:

Então, as soluções são:

$$x_1=-\frac{1}{2}\sqrt{12y+235}+\frac{15}{2}$$ $$x_2=\frac{1}{2}\sqrt{12y+235}+\frac{15}{2}$$

Status individual

Com base no trabalho mostrado acima, pode-se concluir que a função dada NÃO É UM PARA UM, pois não passa no Teste da Linha Horizontal, como por exemplo a linha $y = 0$ é uma linha horizontal que cruza a função dada mais de uma vez.

Graficamente, a situação é representada da seguinte forma:

Calculadoras de álgebra mais interessantes

O conceito de funções 1 para 1 geralmente é dado como certo, mas é muito importante, crítico, eu diria. Isso ocorre porque o conceito de um para um está intimamente ligado à ideia de função monótona (funções crescentes ou decrescentes), ao mesmo tempo que está intimamente relacionado com o cálculo da função inversa e seu gráfico.

No entanto, muitas vezes é difícil passar da floresta pelas árvores, já que os conceitos mais cruciais de Álgebra e Cálculo têm ligações estreitas entre si. Análise de função é uma das coisas que você fará o tempo todo, então é bom adquirir as habilidades para se tornar bom nisso.