Fattorizzazione di trinomi

Questa calcolatrice consente di fattorizzare trinomi della forma \(ax^2+bx+c\). Si noti che questo è un tipo molto specifico di trinomio che corrisponde essenzialmente a un'espressione quadratica.

Una volta fornito un trinomio valido, dovrete fare clic su , tutto ciò che dovete fare è cliccare sul pulsante "Calcola" e vi verranno fornite tutte le fasi del calcolo.

Il problema della fattorizzazione dei trinomi è un problema relativamente semplice, che in ultima analisi si basa sulla nostra capacità di risolvere equazioni di secondo grado , almeno per il tipo di trinomi con cui abbiamo a che fare.

Che cos'è un trinomio

Un trinomio, come indica la parte "tri", è un'espressione algebrica con tre termini. Tecnicamente, un'espressione come \(a+b+c\) è un trinomio, esattamente come \(a\cdot b\cdot \ c\). Ma di solito si intende un trinomio additivo, quindi quest'ultimo non rientra nella categoria.

Inoltre, intendiamo implicitamente un trinomio con termini polinomiali della forma \(d x^k\). L'ultima ipotesi che faremo è che la massima potenza sia maggiore di due, possiamo fattorizzare un termine in modo che la massima potenza sia 2 (questo è sempre possibile con potenze sequenziali).

Allora i trionomi con cui abbiamo a che fare si riducono semplicemente alla classe di espressioni della forma

\[ a x^2 + bx^2 + c \]

Quali sono i passaggi per la fattorizzazione dei trinomi?

• Passo 1: Identificare il trinomio e assicurarsi che soddisfi i requisiti per essere un trinomio nel senso della definizione precedente
• Passo 2: Supponendo che il grado più alto sia 2, il termine è della forma \(a x^2 + bx^2 + c \), quindi si individuano i coefficienti a, b e c
• Passaggio 3: Risolvere l'equazione quadratica \\(a x^2 + bx^2 + c = 0\\). Supponiamo che \(\alpha\) e \(\beta\) siano le radici, quindi la fattorizzazione del trinomio è \(a(x-\alpha)(x-\beta)\)
• Passaggio 4: Se il grado più alto è maggiore di 2, calcolate la potenza più alta possibile e tornate al passo 2

In ultima analisi, la soluzione al compito di fattorizzare un trinomio si basa sulla capacità di termini di factoring E risolvere equazioni di secondo grado .

Si può avere un fattore comune di trinomi?

In base alla nostra definizione dei trinomi che vogliamo accettare per questa procedura, tecnicamente sì, possiamo avere un fattore comune, che può essere fattorizzato. Infatti, in questa calcolatrice si assume che il trinomio sia della forma \(a x^2 + bx + c\), che in generale non ha fattori comuni.

Ma allora si può sostenere che \(a x^4 + bx^3 + cx^2\) è un trinomio che ha fattori comuni, e sarebbe corretto dirlo.

Ciò che accade è che se riusciamo a fattorizzare un fattore comune come \(a x^4 + bx^3 + cx^2 = x^2 (a x^2 + bx + c) \), alla fine ci ritroviamo con il tipo di trinomio più elementare che stiamo usando qui.

La fattorizzazione dei trinomi e la fattorizzazione dei polinomi sono la stessa cosa?

Più precisamente, possiamo dire che otteniamo un trinomio e lo fattorizziamo, stiamo facendo una fattorizzazione polinomiale di un polinomio quadratico (dopo la fattorizzazione di un termine, se necessario).

L'idea di parlare di trinomi invece che di polinomi è quella di porre l'accento sulla struttura specifica dell'espressione con cui abbiamo a che fare, in cui abbiamo 3 termini, a differenza di un polinomio generale che può avere più di 3 termini.

Perché usare questa calcolatrice e non la mia calcolatrice scientifica?

Uno dei motivi principali è che questa calcolatrice di fattorizzazione con passaggi vi mostrerà il lavoro pertinente che deve essere fatto per arrivare alle soluzioni, il che significa che vedrete la giustificazione del PERCHE' avete il risultato trovato.

Nella prossima sezione vedrete esempi di fattorizzazione di trinomi con le relative risposte, uno dei quali utilizza la formula dell'equazione quadratica e l'altro un piccolo trucco per eseguire la fattorizzazione per raggruppamento.

Esempio di fattorizzazione trinomiale

Fattore quanto segue: \(\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4\)

Soluzione: Si noti che possiamo estrarre in fattore \(x^2\), e quindi

\[[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right)\]

e la parte quadratica può essere facilmente fattorizzata come \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\), che porta a:

\[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right) = x^2 \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\)\]

che conclude il calcolo.

Esempio: fattore trinomio

Trovare la fattorizzazione del seguente trinomio \( x^2 + 2x + 3 \).

Soluzione: In questo esempio mostriamo che non si tratta solo della formula dell'equazione quadratica e che a volte si possono prendere delle scorciatoie, a seconda della struttura dell'equazione. Possiamo usare fattore di raggruppamento in questo esempio. Si noti che

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 \]

e raggruppando i primi due termini e gli ultimi due termini otteniamo:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) \]

ma quest'ultimo termine può essere fattorizzato con x + 3, quindi si ottiene:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) = (x-1)(x+3)\]

che conclude il calcolo.

Altre utili calcolatrici quadratiche

espressioni quadratiche sono molto importanti in Algebra in quanto rappresentano il più semplice allontanamento dalla linearità e sono ampiamente utilizzati per modellare diversi tipi di fenomeni.

funzioni quadratiche hanno strutture specifiche che rendono molto semplice trovare le sue radici e trovare interessanti proprietà geometriche, come la vertice della parabola . Inoltre, il formula quadratica per trovare le radici dell'equazione quadratica è una delle equazioni più iconiche e conosciute di tutta l'Algebra