Calcolatore del quoziente di differenza

Questa calcolatrice ti consentirà di calcolare un quoziente di differenza per qualsiasi funzione valida fornita, mostrando tutti i passaggi. Assicurati di fornire una funzione valida che non porti ad alcuna ambiguità, posizionando le parentesi nei punti corretti, per evitare calcoli non intenzionali.

Ad esempio, f(x) = sin 2 x - 2 è ambiguo, perché potresti intendere sin(2) * x -2, o sin(2x)-2 o sin(2x-2), che sono tutti diversi. Quindi dipende da dove metti la parentesi. Se non si inseriscono parentesi, il sistema interpreterà f(x) = sin 2 x - 2 come f(x) = (sin(2))*x - 2, che probabilmente non era quello previsto.

Quindi, quando viene fornita una funzione valida, è necessario fare clic su "Calcola" per ottenere tutti i passaggi mostrati dei calcoli del quoziente di differenza.

I quozienti di differenza sono molto importanti perché sono strettamente legati alla calcolo delle derivate , e hanno un'interpretazione geometrica di essere la pendenza di una linea secante, così come an Tasso medio di variazione .

Formula del quoziente di differenza

Il quoziente di differenza è qualcosa che calcoli per una data funzione \(f(x)\). La formula del quoziente di differenza è

\[ \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

Sembra simile a qualcosa che conosci? Certo, sembra la formula derivata, solo senza il limite. Cosi quando derivati informatici in realtà stai prima calcolando un quoziente di differenza e poi stai prendendo un limite con \(h\) che si avvicina a 0.

Passi per il calcolo dei quozienti di differenza

• Passo 1: Identifica chiaramente la funzione f(x) con cui vuoi lavorare. Assicurati che la funzione sia definita in modo valido prima di andare avanti
• Passo 2: Una volta che sai che f(x) è valido, valuti la funzione a due valori generici x + h e x, e calcoli la differenza f(x+h) - f(x)
• Passaggio 3: Quindi dividi quello che hai trovato sopra per h, così ottieni (f(x+h)-f(x))/h, che è il quoziente di differenza
• Passaggio 4: Semplifica il più possibile l'espressione che hai trovato sopra

Il quoziente di differenza viene solitamente calcolato in termini di calcolo della derivata, ma non sempre, poiché spesso lo utilizzerai come tasso medio di variazione di una funzione, quando il valore dell'argomento cambia da x a x + h.

Utilizzando un calcolatore del quoziente di differenza

Questo calcolatore del quoziente differenziale ti mostrerà passo dopo passo cosa è necessario per arrivare al risultato finale, dall'impostazione del termine del quoziente alla semplificazione dell'espressione finale.

Osserva che esiste una forma alternativa, che è

\[ \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \]

ma naturalmente vedi che se definisci \(h = x-a\) hai \(x = a+h\) e atterri nella forma originale.

Perché avresti bisogno di quozienti di differenza?

Come abbiamo detto nella sezione precedente, i quozienti di differenza sono essenzialmente il calcolo del preambolo necessario per differenziare le funzioni. Quindi giocano un ruolo molto importante.

Inoltre, la possibilità di ottenere il quoziente differenziale semplificato consentirà di trovare il limite che definisce una derivata, ogni volta che il quoziente di base Regole derivate non si applicano e siamo costretti a calcolare la derivata a mano.

Esempio: calcolo del quoziente di differenza di una funzione

Trova la differenza quoziente di: \(f(x) = x^2 + 2x - 4\)

Soluzione:

che conclude il calcolo.

Esempio: quoziente di differenza della radice quadrata

Trova la differenza quoziente di : \(f(x) = \sqrt x\)

Soluzione: Semplicemente collegando i valori di \(x+h\) e \(x\) nella funzione, otteniamo

\[ \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \displaystyle \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h} \]

Razionalizzazione:

\[ \displaystyle \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt x)(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)} \] \[ = \displaystyle \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)} \] \[ = \displaystyle \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)} \]

che conclude il calcolo.

Più risolutori di calcolo

Uno degli strumenti più utili che troverai per Calculus è a calcolatore derivato , che calcolerà una derivata per te mostrando tutti i passaggi. Quasi tutto ciò che fai in Calculus deriva dal calcolo delle derivate.

Strettamente correlato al quoziente di differenza, hai l'idea di Linea tangente , che riflette una sorta di quoziente di differenza istantaneo.