Calculatrice matricielle inversible

L'un des éléments centraux de l'algèbre linéaire est le concept de matrice. Les matrices sont des tableaux de nombres organisés en lignes et en colonnes.

Les opérations matricielles peuvent être définies intuitivement, en particulier lorsque vous additionnez ou soustrayez des matrices, ce qui en fin de compte, tout ce que vous faites est d'ajouter et de soustraire composant par composant.

L'idée de multiplication de matrices est légèrement moins intuitif pour les non initiés mais, vous devez me croire ici, il y a de bonnes raisons pour lesquelles la multiplication matricielle est définie de cette façon.

A quoi sert la matrice inverse ?

• Lorsqu'une matrice est inversible, on peut calculer son inverse
• Vous pouvez utiliser l'inverse pour déplacer librement la matrice "de l'autre côté de l'équation"
• Cela vous permet de résoudre simplement un système d'équations en trouver l'inverse d'une matrice

Quel est l'inverse d'une Matrice ?

Les matrices carrées (c'est-à-dire les matrices qui ont le même nombre de lignes et de colonnes) peuvent être inversibles ou non.

Pour qu'une matrice \(A\) soit inversible signifie qu'il existe une autre matrice \(B\) telle que le produit de \(A\) et \(B\) est égal à la matrice identité (une matrice spéciale avec un dans le diagonale et zéros en dehors de la diagonale).

Pourquoi seriez-vous intéressé à savoir si une matrice est inversible ou non, pourriez-vous demander ? Bonne question. Lorsque la matrice est inversible, nous pouvons "passer la matrice de l'autre côté", de la même manière que vous le feriez dans une équation simple avec des nombres.

Dans ce cas, vous pouvez trouver l'inverse de la matrice et vous "passez" l'inverse de la matrice de l'autre côté de l'équation

Concrètement, si vous avez une équation matricielle \( Ax = b \), et \(A\) est inversible, alors l'équation a une solution unique, qui peut s'écrire \(x = A^{-1} b\), où \(A^{-1}\) est la matrice inverse de A, sous l'hypothèse qu'elle existe.

Quand une matrice est inversible ?

Il existe de très nombreuses façons de caractériser si une matrice est inversible ou non. Vous pouvez appliquer différents "tests" pour savoir si une matrice est inversible ou non. Le test que vous choisirez dépendra parfois de la structure de la matrice.

Un test couramment utilisé pour évaluer si une matrice est inversible consiste à calculer d'abord la déterminant de la matrice . Si le déterminant est différent de zéro, alors la matrice est inversible. Mais si c'est zéro, alors la matrice n'est PAS inversible. Assez simple, hein ?

Une matrice 3x3 est-elle inversible ? Comment savoir

Premièrement, puisque 3x3 est une matrice carrée, c'est un candidat pour vérifier son inversibilité (les matrices non carrées sont immédiatement rejetées)

Toutes les matrices 2x2 sont-elles inversibles ?

Pas du tout. Il existe de nombreuses matrices 2x2 qui ne sont pas inversibles. Par exemple, la matrice

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\]

est un exemple simple de matrice 2x2 qui n'est pas inversible.

Comment savoir si une matrice est inversible sans déterminant ?

Comme nous l'avons dit précédemment, il existe de nombreux tests pour évaluer si une matrice est inversible ou non, et toutes les méthodes n'utilisent pas le déterminant

Une méthode à faire est d'utiliser la méthode de Gauss (utilisant l'opération des matrices élémentaires) pour convertir la matrice sous forme d'échelon de ligne , et une fois cela fait, vous regardez la diagonale de la forme échelonnée : si toutes les diagonales sont non nulles, alors la matrice est inversible, et si N'IMPORTE QUEL élément dans la diagonale de la forme échelonnée est nul , alors la matrice n'est pas inversible.

Exemple : Inversibilité d'une matrice

Question: Supposons que vous ayez la matrice suivante :

\[ \begin{bmatrix}2&1&2\\1&4&1\\2&1&3\end{bmatrix}\]

Solution: Nous devons déterminer si la matrice \(3 \times 3\) qui a été fournie est inversible ou non.

Étape 1 : Méthode utilisée

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer si une matrice est inversible ou non. La méthode que nous utiliserons dans ce cas est la méthode du déterminant.

En termes très simples, nous allons calculer le déterminant, et si le déterminant est différent de zéro, alors la matrice est inversible, mais elle est égale à zéro, alors la matrice n'est pas inversible.

Étape 2 : Calcul du Déterminant

En utilisant la formule du sous-déterminant, nous obtenons :

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \cdot \left( 3 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 11 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( -7 \right) = 7\]

Étape 3 : conclusion

Nous concluons que depuis \(\det A = \displaystyle 7 \ne 0\), alors la matrice donnée est inversible.