Pregunta 1: Las fórmulas para la línea de mínimos cuadrados se hallaron resolviendo el sistema de ecuaciones

\[nb+m\left( \sum{x} \right)=\sum{y}\]

\[b\left( \sum{x} \right)+m\left( \sum{x^2} \right)=\sum{xy}\]

Resuelva estas ecuaciones para b y m para demostrar que

\[\begin{align} & m=\frac{n\left( \sum{xy} \right)-\left( \sum{x} \right)\left( \sum{y} \right)}{n\left(\sum{{{x}^{2}}} \right)-{{\left( \sum{x} \right)}^{2}}} \\ & b=\frac{\sum{y-m\left( \sum{x}\right)}}{n} \\ \end{align}\]

Solución: Desde

\[ nb+m\left( \sum{x} \right)=\sum{y}\]

\[b\left( \sum{x} \right)+m\left( \sum{x^2} \right)=\sum{xy}\]

tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (myb)

Obtenemos que multiplicando la primera ecuación por \(\left( \sum{x} \right)\) y la segunda por -n obtenemos

\[\begin{align} & nb\left( \sum{x} \right)+m{{\left( \sum{x} \right)}^{2}}=\left( \sum{y}\right)\left(\sum{x} \right) \\ & -nb\left( \sum{x} \right)-mn\left( {{\sum{x}}^{2}}\right)=n\sum{xy} \\ \end{align}\]

y ahora agregando estos:

\[m\left( {{\left( \sum{x} \right)}^{2}}-n\left( {{\sum{x}}^{2}} \right) \right)=\left( \sum{x} \right)\left(\sum{y} \right)-n\left( \sum{xy} \right)\]

\[\Rightarrow \,\,\,\,m=\frac{\left( \sum{x} \right)\left( \sum{y} \right)-n\left( \sum{xy} \right)}{{{\left( \sum{x} \right)}^{2}}-n\left( {{\sum{x}}^{2}} \right)}=\frac{n\left( \sum{xy} \right)-\left( \sum{x} \right)\left( \sum{y} \right)}{n\left( {{\sum{x}}^{2}} \right)-{{\left( \sum{x} \right)}^{2}}}\]

Ahora, de esta ecuación:

\[nb+m\left( \sum{x} \right)=\left( \sum{y} \right)\]

podemos resolver por segundo :

\[nb+m\left( \sum{x} \right)=\left( \sum{y} \right)\,\,\Rightarrow \,\,\,nb=\left( \sum{y} \right)-m\left( \sum{x} \right)\,\Rightarrow \,\,\,b=\frac{\left( \sum{y} \right)-m\left( \sum{x} \right)}{n}\]

Pregunta 2: Determine el coeficiente de correlación y haga un gráfico de la línea de regresión con el coeficiente de regresión para el siguiente conjunto de datos.

Incendios forestales y acres quemados. El número de incendios y el número de acres quemados son los siguientes

Incendios (x)	72	69	58	47	84	62	57	45
Acres (y)	62	41	19	26	51	15	30	15

Solución: (a) Se obtiene el siguiente diagrama de dispersión:

Con base en el diagrama de dispersión anterior, observamos que hay un grado moderado a fuerte de asociación lineal positiva.

(b) Por otro lado, tenemos la siguiente tabla que muestra los cálculos necesarios para calcular la correlación de Pearson: Obtenemos

La correlación de Pearson r se calcula como

\[r = \frac{n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}{\sqrt{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)}^{2}}}\sqrt{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{y_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}^{2}}}} = \frac{8 \times {17216}-{494}\times {259}}{\sqrt{8\times {31692}-{494}^{2}}\sqrt{8\times 10513-{259}^{2}}}\]

\[=0.7692\]

(c) El coeficiente de determinación es

\[{{r}^{2}}={0.7692}^{2}= {0.5917}\]

lo que significa que el 59.17% de la variación en Acres (y) se explica por Incendios (x).

(d) Los coeficientes de regresión se calculan

\[b=\frac{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}} \right)-\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)}^{2}}}=\frac{8 \times {17216}-{494}\times {259}}{8 \times {31692}-{494}^{2}}= 1.0297\]

and

\[a=\bar{y}-b \bar{x}={32.375}{+} {1.0297}\,\cdot \, {61.75} = {-31.208}\]

Esto significa que la ecuación de regresión es

\[\hat{y}= {-31.208}{+}{1.0297}\,x\]

Graphically:

Pregunta 3: Ha realizado un estudio para determinar si el tiempo promedio que pasa en el laboratorio de computación cada semana y la calificación del curso en un curso de computación estaban correlacionados. Utilizando los datos que se proporcionan a continuación, ¿qué conclusión sacaría sobre este tema?

student	# hours in lab	Course Grade
1	20	96
2	11	51
3	16	62
4	13	58
5	89
6	15	81
7	10	46
8	10	51

Solución: La siguiente tabla muestra los cálculos necesarios para calcular Pearson correlación r : Obtenemos

La correlación de Pearson r se calcula como

\[r = \frac{n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}{\sqrt{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)}^{2}}}\sqrt{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{y_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}^{2}}}} = \frac{8 \times {7925}-{112}\times {534}}{\sqrt{8\times {1660}-{112}^{2}}\sqrt{8\times 38224-{534}^{2}}}\]

\[=0.9217\]

Queremos probar la significancia del coeficiente de correlación. Más específicamente, queremos probar

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\rho {=} 0 \\ {{H}_{A}}:\rho {\ne} 0 \\ \end{align}\]

Para probar la hipótesis nula, utilizamos una prueba t. La estadística t se calcula como

\[t= r \sqrt{\frac{n-2}{1-{{r}^{2}}}}= {0.9217} \times \sqrt{\frac{6}{1-{0.9217}^2}}= {5.8198}\]

El valor p de dos colas para esta prueba se calcula como

\[p=\Pr \left( |{{t}_{6}}|>5.8198 \right)=0.0011\]

Desde \(p = 0.0011 {<} 0.05\) , y esto significa que rechazamos la hipótesis nula H ₀ .

Por lo tanto, tenemos suficiente evidencia para respaldar la afirmación de que la correlación entre el número de horas en el laboratorio y la calificación del curso es significativamente diferente de cero.