Descomposición parcial de fracciones
La descomposición parcial de fracciones es una técnica que se utiliza para simplificar la integración, al descomponer una función difícil de integrar en la suma de varias funciones que son más fáciles de integrar.
A menudo, el uso de fracciones parciales es la única forma factible de calcular una integral, que de otro modo sería imposible de resolver.
Específicamente, esta técnica se aplica cuando necesitamos integrar el cociente de dos polinomios \(P(x)\) y \(Q(x)\). Esto es, necesitamos calcular.
\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]Por ejemplo, digamos que \(P(x) = x^2 - 2\) y \(Q(x) = x^3 - 7x + 6\), por lo que la integral del cociente de estos dos polinomios sería:
\[\large \displaystyle \int \frac{x^2 - 2}{x^3 - 7x + 6} dx\]¿Cómo diablos resuelves eso ?, puedes pensar ..... A primera vista parece intratable, y lo es si no sigues el enfoque correcto.
Afortunadamente, cada vez que intentas integrar el cociente de dos polinomios, no importa cuán complicados sean esos polinomios, siempre hay una manera de reducir la integral a un montón de integrales fáciles de resolver.
Solo que, para hacerlo, necesitamos realizar un trabajo algebraico de antemano, pero dividiendo dos polinomios y resolviendo un sistema lineal.
Es un pequeño precio a pagar para resolver y, de otro modo, imposible de resolver integral, ¿verdad? Porfavor di que si.
EJEMPLO 1
Déjame darte un adelanto. ¿Podrías seguir adelante e integrar esto?
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 - 7x + 6} dx\]Hummm ... ¿podrías? Bueno, no parece fácil, ni siquiera posible. Y si te dijera eso
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 - 7x + 6} = \frac{1}{5(x-2)} - \frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{20(x+3)}\]Entonces, la fracción que desea integrar se descompuso en tres fracciones parciales , y cada una de estas fracciones parciales es realmente fácil de integrar. De hecho, usar la descomposición anterior nos lleva a
\[\large \displaystyle \int\frac{1}{x^3 - 7x + 6} \, dx = \int \frac{1}{5(x-2)} \, dx - \int\frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{1}{20(x+3)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{5} \ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x-1| + \frac{1}{20}\ln|x+3| + C\]Entonces, puedes estar de acuerdo conmigo en que la descomposición resolvió el problema, porque después de conocer la descomposición, el problema de integración se redujo a tres integrales muy simples.
Ahora aprenderá a realizar dicha descomposición.
¿Cómo hacer una descomposición de fracciones parciales?
Paso 1
En primer lugar, esta técnica solo funciona cuando se desea integrar un cociente de dos polinomios. Esto es, quieres integrar
\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios. Siempre podemos asumir que el orden de \(Q(x)\) es mayor que el orden de \(P(x)\) .
Si ese no es el caso, y el orden de \(P(x)\) es mayor que el orden de \(Q(x)\), entonces puede usar el teorema de la división de polinomios para obtener
\[\large P(x) = M(x)Q(x) + R(x)\]donde \(M(x)\) y \(R(x)\) son polinomios, y el orden de \(R(x)\) es menor que el orden de \(R(x)\), lo que significaría que
\[\large \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = M(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \]entonces la tarea de integrar \(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\) se reduce a la tarea de integrar un polinomio \(M(x)\) (que es trivial) e integrar un cociente de polinomios \(\displaystyle\frac{R(x)}{Q(x)}\) donde el polinomio en el numerador tiene un orden menor que el del denominador.
Paso 2
Necesitas encontrar las raíces del polinomio en el denominador \(Q(x)\) y realizar una descomposición en términos lineales y cuadráticos con multiplicidad, y descrita por el Teorema fundamental del álgebra.
Este paso requiere un poco de conocimiento de álgebra. Suponga que \(Q(x)\) es un polinomio de orden \(n\). Así que necesitamos resolver \(Q(x) = 0\), y de acuerdo con el Teorema fundamental del álgebra, habrá exactamente \(n\) raíces, tal vez todas reales, pero tal vez algunas complejas. Además, para cada raíz hay una cierta multiplicidad (el número de veces que se repite una raíz)
Con estas raíces descompondremos \(Q(x)\). Para cada raíz real \(\alpha\), el factor correspondiente en la descomposición es \((x-\alpha)\). Si hay una multiplicidad \(k\) para esta raíz (es decir, la raíz se repite \(k\) veces), el factor en la descomposición será \((x-\alpha)^k\).
Ahora, es un poco más complicado cuando hay una raíz compleja \(c\). En ese caso, siempre habrá una raíz compleja conjugada, \(\bar c\), y al agruparlas, obtendremos una expresión cuadrática \((x-c)(x - \bar c) = (x^2 + ax + b)\) con coeficientes reales.
Si esa raíz compleja tiene una multiplicidad \(k\), el factor sería \((x^2 + ax + b)^k\).
Paso 3
Toma los factores que encontraste en el Paso 2. Para cada uno de los factores, crearás algunos términos que contribuirán a la suma de fracciones parciales.
Para cada factor de la forma \(x + a\): agregue un término \(\displaystyle \frac{A}{x+a}\)
Para cada factor de la forma \((x + a)^k\): agregue términos \(\displaystyle \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_2}{(x+a)^2} + ... + \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_k}{(x+a)^k}\)
Para cada factor de la forma \(x^2 + ax + b\): agregue un término \(\displaystyle \frac{A + B x}{x^2+ax+b}\)
Para cada factor de la forma \((x^2 + ax + b)^k\): agregue términos \(\displaystyle \frac{A_1 + B_1 x}{x^2+ax+b} + \frac{A_2 + B_2 x}{(x^2+ax+b)^2} + ...+ \frac{A_k + B_k x}{(x^2 + ax + b)^k} \)
Paso 4
Suma estas fracciones parciales y compáralas con el cociente \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\), y utilízalo para encontrar todas las constantes desconocidas \(A_i\) y \(B_i\) que se crearon en el Paso 3.
Paso 5
Después de encontrar las constantes en el Paso 4, ha descompuesto el cociente \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\) en varios términos que se pueden integrar mediante logaritmos, o necesita hacer un simple cambio de variables.
Y ha cambiado la resolución de una integral imposible de resolver por un número posiblemente grande de fracciones parciales más pequeñas que son mucho más fáciles de integrar, después de un largo ejercicio algebraico de resistencia.
EJEMPLO 2
Integra lo siguiente usando fracciones parciales
\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} dx\]RESPONDER:
Pacientemente, tenemos que seguir todos los pasos.
Paso 1
En este caso \(P(x) = x\) y \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), por lo que el orden de \(P(x)\) es 1, y el orden de \(Q(x)\) es 2. Por lo tanto, se cumple la condición, ya que el orden de \(P(x)\) es menor que el orden de \(Q(x)\).
Paso 2
Encontremos las raíces de \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), así que necesitamos resolver
\[\large x^2 + 2x - 3 = 0 \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(4 +12}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]Entonces, las raíces son \(x_1 = 1\) y \(x_2 = -3\). Los factores entonces son \((x-1)\) y \((x+3)\). Observe que \(Q(x) = x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)\)
Paso 3
Para el factor \((x-1)\) agregamos la fracción parcial \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) y para el factor \((x+3)\) agregamos la fracción parcial \(\displaystyle \frac{B}{x+3}\).
Paso 4
Ahora sumamos todas las fracciones parciales y las equiparamos con el cociente original de polinomios, para resolver las constantes \(A\) y \(B\):
\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3}\] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{(x-1)(x+3)} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{x^2 + 2x - 3} \] \[\large \Rightarrow x = A(x+3) + B(x-1) \] \[\large \Rightarrow x = Ax + 3A + Bx - B \] \[\large \Rightarrow x = (A+B)x + (3A - B) \]Observe que la última igualdad indica que el polinomio de la izquierda es el mismo que el polinomio de la derecha, para todo \(x\). Entonces, sus coeficientes deben ser iguales.
Esto significa que \(A+B = 1\) y \(3A - B = 0\). De este último, \(B = 3A\), entonces \(A + 3A = 1\), que significa \(4A = 1\) entonces \(A = 1/4\), y \(B = 3/4\).
Así que hemos llegado a nuestra expansión de fracciones parciales:
\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{1/4}{x-1} + \frac{3/4}{x+3} = \frac{1}{4(x-1)} + \frac{3}{4(x+3)} \]Paso 5
Ahora puede disfrutar de la integración con facilidad:
\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} \, dx= \int \frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{3}{4(x+3)} \, dx \] \[\large \displaystyle = \frac{1}{4} \ln|x-1| + \frac{3}{4} \ln|x+3| + C\]EJEMPLO 3
Integra el siguiente término usando la descomposición de fracciones parciales
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} dx\]RESPONDER:
Nuevamente, tenemos que seguir todos los pasos.
Paso 1
En este caso \(P(x) = 1\) y \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), por lo que el orden de \(P(x)\) es 0, y el orden de \(Q(x)\) es 3. Por lo tanto, se cumple la condición, ya que el orden de \(P(x)\) es menor que el orden de \(Q(x)\).
Paso 2
Encontremos las raíces de \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), así que necesitamos resolver
\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = 0 \]Este es más complicado, porque no hay una fórmula fácil para las raíces cúbicas generales (hay una fórmula, pero no es fácil). Necesitamos hacer un truco:
\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + (x-1) = (x^2+1)(x-1) = 0 \]Entonces tenemos ese \(x^2 + 1=0\) o \(x-1 = 0\). Por lo tanto, las raíces son \(x_1 = 1\), \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\). Entonces, \(x_1\) es real, \(x_2\) y \(x_3\) son raíces conjugadas complejas.
La raíz \(x_1 = 1\) tiene un factor \((x-1\), y las raíces conjugadas complejas \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\) tienen un factor \((x-i)(x+i) = (x^2+1)\).
Paso 3
Para el factor \((x-1)\) agregamos la fracción parcial \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) y para el factor \((x^2+1))\) agregamos la fracción parcial \(\displaystyle \frac{Bx + C}{x^2+1}\).
Paso 4
Ahora sumamos todas las fracciones parciales y las equiparamos con el cociente original de polinomios, para resolver las constantes \(A\) y \(B\):
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}\] \[\large \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)}{x^3 -x^2 + x - 1} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1) \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = Ax^2 + A + Bx^2 - Bx + Cx - C \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = (A+B)x^2 + (C- B)x + (A - C) \]Observe que la última igualdad indica que el polinomio de la izquierda es el mismo que el polinomio de la derecha, para todo \(x\). Entonces, sus coeficientes deben ser iguales.
Esto significa que \(A+B = 0\), \(C - B = 1\) y \(A - C = 0\). De este último, \(A = C\), y también \(A = -B\), obtenemos \(A = 1/2\), \(B = -1/2\) y \(C = -1/2\).
Así que hemos llegado a nuestra expansión de fracciones parciales:
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{(x + 1)}{2(x^2 + 1)}\]Paso 5
Ahora puede disfrutar de la integración con facilidad:
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} \, dx = \int \frac{1}{2(x-1)} \, dx - \int \frac{(x + 1)}{2(x^2 + 1)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \int \frac{x}{2(x^2 + 1)} \, dx - \int \frac{1}{2(x^2 + 1)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{4}\ln(1+x^2) - \frac{1}{2} \arctan x + C\]Más sobre la descomposición parcial de fracciones
La técnica de usar fracciones parciales es una bendición, porque te sirven realmente bien haciendo posible una integración que de otra manera no sería posible.
PERO, cuando uno lo ve en una tarea o examen, sabe que tiene mucho trabajo por delante para hacer que las fracciones parciales le funcionen correctamente. Así que mi consejo es que vaya despacio y no se apresure cuando esté haciendo todo el trabajo pesado.
Los mecánicos
Realizar una descomposición de fracciones parciales exigirá varias habilidades algebraicas para que las saques de tu sombrero, a saber: dividir polinomios, encontrar raíces de polinomios y resolver sistemas, además de poder expresar la estructura de descomposición adecuada, manejando correctamente los diferentes casos (diferentes raíces , raíces repetidas). Así que necesitas estar en plena forma con tu perspicacia algebraica.
Al final, es muy mecánico y casi tedioso de hacer. En última instancia, podría usar un CAS como Maple o Mathematica para realizar la expansión de fracción parcial por usted, pero si una prueba, es probable que tiene su instructor quiera que la haga con alguna ayuda, por lo que es mejor que se prepare para ella.