Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten
Sei \(A\) und \(B\) Ereignisse. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist definiert als
\[ \Pr(A | B) = \frac{ \Pr(A \cap B) }{ \Pr(B) } \]solange \(Pr(B) \ne 0 \).
Diese bedingte Wahrscheinlichkeit kann als die Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, dass A auftritt vorausgesetzt, wir wissen, dass B wahr ist . Mit anderen Worten, diese bedingte Wahrscheinlichkeit ist einfach die Wahrscheinlichkeit von A, wenn einige zusätzliche Informationen über B gegeben sind.
Wir bezeichnen \(\Pr(A | B)\) normalerweise als die Wahrscheinlichkeit von A gegeben B. . Dies bedeutet, dass wir unter der Annahme, dass B wahr ist, die Wahrscheinlichkeit von A berechnen müssen.
Beispiel: Eine Studie zeigt, dass, wenn wir eine Person zufällig auswählen, die Wahrscheinlichkeit, dass die Person am Wochenende in ein Einkaufszentrum geht, 0,74 beträgt, die Wahrscheinlichkeit, dass die Person Eis bekommt, 0,45 beträgt und die Wahrscheinlichkeit, dass die Person dies tut beides ist 0,34. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Person etwas Eis bekommt gegeben dass sie ins Einkaufszentrum geht.
Antworten :: Definieren wir die folgenden Ereignisse
\[A = \{\text{The person gets ice cream}\}\] \[B = \{\text{The person gets goes out to a mall}\}\]Dies bedeutet, dass
\[\Pr(A | B) = \frac{\Pr(A \cap B)}{\Pr(B)} = \frac{\Pr(\text{The person goes to a mall and goes to eat ice cream})}{\Pr(\text{The person goes to a mall})}\] \[ = \frac{0.34}{0.74} = 0.459\]& gg; Eine andere Möglichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu verwenden
Die bedingte Wahrscheinlichkeitsformel kann auf folgende sehr nützliche Weise geschrieben werden:
\[ \Pr(A \cap B)= \Pr(A | B) Pr(B)\]Diese Formel macht einige Berechnungen wirklich einfach, wie im folgenden Beispiel gezeigt:
Anwendungsbeispiel: Eine Urne enthält 8 schwarze und 4 weiße Kugeln. Zwei Kugeln werden ersatzlos aus der Urne entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind.
Antworten :: Dieses Problem kann ohne die richtigen Vorbereitungen schwierig sein. Zunächst definieren wir die folgenden Ereignisse:
\[A = \{\text{The second ball is white}\}\] \[B = \{\text{The first ball is white}\}\]Wir müssen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beide Kugeln weiß sind, was bedeutet, dass \(\Pr (A \cap B) \) berechnet werden muss. Verwendung der letzten Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
\[\Pr(A \cap B)= \Pr(A | B) Pr(B) = \frac{3}{11}\times \frac{4}{12} = \frac{1}{11} = 0.0909\](Beachten Sie, dass, wenn der erste Ball weiß ist, nur noch 11 Bälle übrig sind: 3 weiße Bälle und 8 schwarze Bälle)
Wenn Sie an schrittweisen Lösungen für die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignissen interessiert sind, können Sie unsere nutzen Bedingter Wahrscheinlichkeitsrechner .