Teilfraktion Zersetzung
Partial Fraction Decomposition ist eine Technik, die verwendet wird, um die Integration zu vereinfachen, indem eine schwer zu integrierende Funktion in die Summe mehrerer Funktionen zerlegt wird, die einfacher zu integrieren sind.
Oft ist die Verwendung von Teilbrüchen die einzig mögliche Methode zur Berechnung eines Integrals, die sonst nicht zu lösen wäre.
Diese Technik wird insbesondere angewendet, wenn der Quotient aus zwei Polynomen \(P(x)\) und \(Q(x)\) integriert werden muss. Dies ist, wir müssen berechnen.
\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]Angenommen, \(P(x) = x^2 - 2\) und \(Q(x) = x^3 - 7x + 6\), so wäre das Integral des Quotienten dieser beiden Polynome:
\[\large \displaystyle \int \frac{x^2 - 2}{x^3 - 7x + 6} dx\]Wie zum Teufel Sie das lösen, denken Sie vielleicht ... Auf den ersten Blick sieht es unlösbar aus, und wenn Sie nicht den richtigen Ansatz verfolgen.
Glücklicherweise gibt es jedes Mal, wenn Sie versuchen, den Quotienten zweier Polynome zu integrieren, unabhängig davon, wie kompliziert diese Polynome sind, eine Möglichkeit, das Integral auf eine Reihe leicht zu lösender Integrale zu reduzieren.
Nur um dies zu tun, müssen wir vorher einige algebraische Arbeiten ausführen, aber zwei Polynome teilen und ein lineares System lösen.
Es ist ein kleiner Preis zu zahlen, um zu lösen und ansonsten unmöglich, Integral zu lösen, oder? Bitte sag ja.
BEISPIEL 1
Lassen Sie mich Ihnen einen Vorgeschmack geben. Könnten Sie fortfahren und dies integrieren?
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 - 7x + 6} dx\]Hummm ..... könntest du? Nun, es sieht nicht einfach oder sogar möglich aus. Was wäre, wenn ich dir das sagen würde?
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 - 7x + 6} = \frac{1}{5(x-2)} - \frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{20(x+3)}\]Der Bruch, den Sie integrieren möchten, wurde in drei Teile zerlegt Partialbrüche und jede dieser Teilfraktionen ist tatsächlich leicht zu integrieren. In der Tat führt uns die Verwendung der obigen Zerlegung zu
\[\large \displaystyle \int\frac{1}{x^3 - 7x + 6} \, dx = \int \frac{1}{5(x-2)} \, dx - \int\frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{1}{20(x+3)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{5} \ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x-1| + \frac{1}{20}\ln|x+3| + C\]Sie können mir also zustimmen, dass die Zerlegung das Problem gelöst hat, da das Integrationsproblem nach Kenntnis der Zerlegung auf drei sehr einfache Integrale reduziert wurde.
Jetzt lernen Sie, wie Sie eine solche Zerlegung durchführen.
Wie führe ich eine Teilbruchzerlegung durch?
Schritt 1
Erstens funktioniert diese Technik nur, wenn Sie einen Quotienten aus zwei Polynomen integrieren möchten. Dies ist, Sie möchten integrieren
\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]Dabei sind \(P(x)\) und \(Q(x)\) Polynome. Wir können immer davon gehört, dass die von \(Q(x)\) angesehen wird, als die von \(P(x)\) .
Wenn dies nicht der Fall ist und die Reihenfolge von \(P(x)\) größer ist als die Reihenfolge von \(Q(x)\), können Sie den Satz der Division von Polynomen verwenden, um zu erhalten
\[\large P(x) = M(x)Q(x) + R(x)\]Dabei sind \(M(x)\) und \(R(x)\) Polynome, und die Reihenfolge von \(R(x)\) ist niedriger als die Reihenfolge von \(R(x)\), was dies bedeuten würde
\[\large \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = M(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \]Dann wird die Aufgabe des Integrierens von \(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\) auf die Aufgabe des Integrierens eines Polynoms \(M(x)\) (was trivial ist) und des Integrierens eines Quotienten von Polynomen \(\displaystyle\frac{R(x)}{Q(x)}\) reduziert, wobei das Polynom im Zähler eine niedrigere Ordnung als das im Nenner hat.
Schritt 2
Sie müssen die Wurzeln des Polynoms im Nenner \(Q(x)\) finden und eine lineare und quadratische Zerlegung mit Multiplizität durchführen, die durch den Fundamentalsatz der Algebra beschrieben wird.
Dieser Schritt erfordert ein wenig Algebra-Kenntnisse. Angenommen, \(Q(x)\) ist ein Polynom der Ordnung \(n\). Wir müssen also \(Q(x) = 0\) lösen, und nach dem Fundamentalsatz der Algebra wird es genau \(n\) Wurzeln geben, vielleicht alle real, aber vielleicht einige komplexe. Außerdem gibt es für jede Wurzel eine bestimmte Vielzahl (die Häufigkeit, mit der eine Wurzel wiederholt wird).
Mit diesen Wurzeln werden wir \(Q(x)\) zerlegen. Für jede echte Wurzel \(\alpha\) ist der entsprechende Faktor bei der Zerlegung \((x-\alpha)\). Wenn es für diese Wurzel eine Multiplizität \(k\) gibt (dh die Wurzel wird \(k\) mal wiederholt), ist der Faktor bei der Zerlegung \((x-\alpha)^k\).
Jetzt ist es etwas schwieriger, wenn es eine komplexe Wurzel \(c\) gibt. In diesem Fall gibt es immer eine konjugierte komplexe Wurzel, \(\bar c\), und wenn wir diese gruppieren, erhalten wir einen quadratischen Ausdruck \((x-c)(x - \bar c) = (x^2 + ax + b)\) mit reellen Koeffizienten.
Wenn diese komplexe Wurzel eine Multiplizität \(k\) hat, wäre der Faktor \((x^2 + ax + b)^k\).
Schritt 3
Nehmen Sie die Faktoren, die Sie in Schritt 2 gefunden haben. Für jeden der Faktoren erstellen Sie einige Begriffe, die zur Summe der Teilfraktionen beitragen.
Für jeden Faktor der Form \(x + a\): Fügen Sie einen Begriff \(\displaystyle \frac{A}{x+a}\) hinzu
Für jeden Faktor der Form \((x + a)^k\): Fügen Sie Begriffe \(\displaystyle \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_2}{(x+a)^2} + ... + \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_k}{(x+a)^k}\) hinzu
Für jeden Faktor der Form \(x^2 + ax + b\): Fügen Sie einen Begriff \(\displaystyle \frac{A + B x}{x^2+ax+b}\) hinzu
Für jeden Faktor der Form \((x^2 + ax + b)^k\): Fügen Sie Begriffe \(\displaystyle \frac{A_1 + B_1 x}{x^2+ax+b} + \frac{A_2 + B_2 x}{(x^2+ax+b)^2} + ...+ \frac{A_k + B_k x}{(x^2 + ax + b)^k} \) hinzu
Schritt 4
Addieren Sie diese Teilbrüche und setzen Sie sie dem Quotienten \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\) gleich. Verwenden Sie diesen, um alle unbekannten Konstanten \(A_i\) und \(B_i\) zu finden, die in Schritt 3 erstellt wurden.
Schritt 5
Nachdem Sie die Konstanten in Schritt 4 gefunden haben, haben Sie den Quotienten \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\) in mehrere Begriffe zerlegt, die über den Logarithmus integriert werden können, oder Sie müssen eine einfache Änderung der Variablen vornehmen.
Und Sie haben das Lösen eines unmöglich zu lösenden Integrals gegen eine möglicherweise große Anzahl kleinerer Teilfraktionen eingetauscht, die nach einer langen algebraischen Ausdauerübung viel einfacher zu integrieren sind.
BEISPIEL 2
Integrieren Sie Folgendes mit Teilfraktionen
\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} dx\]ANTWORTEN:
Geduldig müssen wir alle Schritte durchlaufen.
Schritt 1
In diesem Fall \(P(x) = x\) und \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\) ist die Reihenfolge von \(P(x)\) 1 und die Reihenfolge von \(Q(x)\) ist 2. Daher ist die Bedingung erfüllt, da die Reihenfolge von \(P(x)\) kleiner als die Reihenfolge von \(Q(x)\) ist.
Schritt 2
Lassen Sie uns die Wurzeln von \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\) finden, also müssen wir lösen
\[\large x^2 + 2x - 3 = 0 \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(4 +12}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]Die Wurzeln sind also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\). Die Faktoren sind dann \((x-1)\) und \((x+3)\). Beachten Sie, dass \(Q(x) = x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)\)
Schritt 3
Für den Faktor \((x-1)\) addieren wir den Teilbruchteil \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) und für den Faktor \((x+3)\) addieren wir den Teilbruchteil \(\displaystyle \frac{B}{x+3}\).
Schritt 4
Nun addieren wir alle Teilbrüche und setzen sie mit dem ursprünglichen Quotienten der Polynome gleich, um nach den Konstanten \(A\) und \(B\) zu lösen:
\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3}\] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{(x-1)(x+3)} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{x^2 + 2x - 3} \] \[\large \Rightarrow x = A(x+3) + B(x-1) \] \[\large \Rightarrow x = Ax + 3A + Bx - B \] \[\large \Rightarrow x = (A+B)x + (3A - B) \]Beachten Sie, dass die letzte Gleichheit anzeigt, dass das Polynom links für alle \(x\) dasselbe ist wie das Polynom rechts. Ihre Koeffizienten müssen also gleich sein.
Dies bedeutet, dass \(A+B = 1\) und \(3A - B = 0\). Von diesem letzten, \(B = 3A\), also \(A + 3A = 1\), was \(4A = 1\) bedeutet, also \(A = 1/4\) und \(B = 3/4\).
So sind wir zu unserer Teilfraktionserweiterung gekommen:
\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{1/4}{x-1} + \frac{3/4}{x+3} = \frac{1}{4(x-1)} + \frac{3}{4(x+3)} \]Schritt 5
Jetzt können Sie die Integration mit Leichtigkeit genießen:
\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} \, dx= \int \frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{3}{4(x+3)} \, dx \] =\[\large \displaystyle \frac{1}{4} \ln|x-1| + \frac{3}{4} \ln|x+3| + C\]BEISPIEL 3
Integrieren Sie den folgenden Term mithilfe der Teilbruchzerlegung
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} dx\]ANTWORTEN:
Wieder müssen wir alle Schritte durchlaufen.
Schritt 1
In diesem Fall \(P(x) = 1\) und \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\) ist die Reihenfolge von \(P(x)\) 0 und die Reihenfolge von \(Q(x)\) ist 3. Daher ist die Bedingung erfüllt, da die Reihenfolge von \(P(x)\) kleiner als die Reihenfolge von \(Q(x)\) ist.
Schritt 2
Lassen Sie uns die Wurzeln von \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\) finden, also müssen wir lösen
\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = 0 \]Dieser ist schwieriger, weil es keine einfache Formel für allgemeine kubische Wurzeln gibt (es gibt eine Formel, aber es ist nicht einfach). Wir müssen einen Trick machen:
\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + (x-1) = (x^2+1)(x-1) = 0 \]Wir haben also \(x^2 + 1=0\) oder \(x-1 = 0\). Daher sind die Wurzeln \(x_1 = 1\), \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\). Dann ist \(x_1\) real, \(x_2\) und \(x_3\) sind komplexe konjugierte Wurzeln.
Die Wurzel \(x_1 = 1\) hat einen Faktor \((x-1\) und die komplexen konjugierten Wurzeln \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\) haben einen Faktor \((x-i)(x+i) = (x^2+1)\).
Schritt 3
Für den Faktor \((x-1)\) addieren wir den Teilbruchteil \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) und für den Faktor \((x^2+1))\) addieren wir den Teilbruchteil \(\displaystyle \frac{Bx + C}{x^2+1}\).
Schritt 4
Nun addieren wir alle Teilbrüche und setzen sie mit dem ständigen Quotienten der Polynome gleich, um nach den Konstanten \(A\) und \(B\) zu gewinnen:
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}\] \[\large \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)}{x^3 -x^2 + x - 1} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1) \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = Ax^2 + A + Bx^2 - Bx + Cx - C \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = (A+B)x^2 + (C- B)x + (A - C) \]Dies Sie, dass die letzte Gleichheit anzeigt, dass das Polynom Links für alle \(x\) führt ist wie das Polynom rechts. Ihre Ko-Stimmen müssen auch gleich sein.
Dies bedeutet, dass \(A+B = 0\), \(C - B = 1\) und \(A - C = 0\). Von diesem letzten, \(A = C\) und auch \(A = -B\), erhalten wir auch \(A = 1/2\), \(B = -1/2\) und \(C = -1/2\).
So sind wir zu unseren Teilfraktionserweiterung gekommen:
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{(x + 1)}{2(x^2 + 1)}\]Schritt 5
Jetzt können Sie die Integration mit Leichtigkeit ändern:
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} \, dx = \int \frac{1}{2(x-1)} \, dx - \int \frac{(x + 1)}{2(x^2 + 1)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \int \frac{x}{2(x^2 + 1)} \, dx - \int \frac{1}{2(x^2 + 1)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{4}\ln(1+x^2) - \frac{1}{2} \arctan x + C\]Weitere Informationen zur partiellen Bruchzerlegung
Die Technik der Verwendung von Teilfraktionen ist ein Segen, denn sie dient dazu, gut zu sein und zu integrieren, die sonst nicht möglich ist.
ABER wenn Sie es in einer Hausaufgabe oder einem Test sehen, wissen Sie, dass Sie viel Arbeit für sich haben, damit Teilfraktionen für Sie gehören. Mein Rat ist auch, langsam zu fahren und sich nicht zu beeilen, wenn Sie die ganze Grunzarbeit erledigen.
Die Mechaniker
Das Durchführen einer Teilbruchzerlegung. Sie müssen auch mit algebraischen Scharfsinn in Topform sein.
Am Ende ist es sehr mechanisch und schnell müdesam zu tun. Sie haben ein CAS wie Maple oder Mathematica verwendet, um die Teilfraktionserweiterung für Sie geben. Wenn Sie einen Test haben, wird Ihr Ausbilder verloren, dass Sie mit Hilfsmitteln tun, damit Sie sich besser fühlen können.