Eine häufige Art von Problem, die Sie in den Hausaufgaben von Basic Statistics finden, ist die Art des Problems, bei dem Beispieldaten verwendet werden Testen Sie eine Hypothese .

Eine Hypothese ist eine Aussage über einen Populationsparameter. Dies ist eine Behauptung, die wir über einen bestimmten Populationsparameter wie den Populationsmittelwert oder die Populationsstandardabweichung machen.

Beispielsweise kann ein Ingenieur eines Autoherstellers behaupten, dass die durchschnittliche Kraftstoffverbrauchsleistung eines neuen Automodells 25 mpg beträgt. Das wäre eine Hypothese. Oder ein Forscher für politische Umfragen kann beispielsweise behaupten, dass der Stimmenanteil eines bestimmten Kandidaten 53% beträgt. Das wäre eine weitere Hypothese über den wahren Anteil der Wähler, die diesen bestimmten Kandidaten unterstützen.

Betrachten Sie das folgende Beispiel : Eine Psychologin behauptet, dass der mittlere IQ-Wert von Statistiklehrern größer als 100 ist. Sie sammelt Stichprobendaten von 15 Statistiklehrern und stellt fest, dass $\bar{X}=118$ und s = 11. Die Stichprobendaten scheinen aus einer normalverteilten Population mit unbekannten $\mu$ und zu stammen $\sigma$.

Lösen wir dieses Problem:

Beachten Sie, dass wir die folgenden Null- und Alternativhypothesen testen möchten

$$\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {\le} {100}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {>} {100} \\ \end{align}$$

Da die Populationsstandardabweichung $\sigma$ nicht angegeben wird, müssen wir einen t-Test mit der folgenden Formel verwenden:

$$t =\frac{\bar{X}-\mu }{s / \sqrt{n}}$$

Dies entspricht einem rechtsseitigen t-Test. Die t-Statistik ergibt sich aus folgender Formel:

$$t=\frac{\bar{X}-\mu }{s /\sqrt{n}}=\frac{{118}-100}{11/\sqrt{15}}={6.3376}$$

Der kritische Wert für $\alpha = 0.05$ und für $df = n- 1 = 15 -1 = 14$ Freiheitsgrade für diesen rechtsseitigen Test ist $t_{c} = 1.761$. Der Ablehnungsbereich ist gegeben durch

$$R = \left\{ t:\,\,\,t>{ 1.761 } \right\}$$

Seit $t = 6.3376 {>} t_c = 1.761$ lehnen wir die Nullhypothese H ab ₀ .

Alternativ können wir den p-Wert-Ansatz verwenden. Der rechtsseitige p-Wert für diesen Test wird berechnet als

$$p=\Pr \left( {{t}_{14}}>6.3376 \right)=0.000$$

In Anbetracht dessen, dass der p-Wert so ist, dass $p = 0.000 {<} 0.05$, lehnen wir die Nullhypothese H ab ₀ .

Daher haben wir genügend Beweise, um die Behauptung zu stützen, dass der durchschnittliche IQ-Wert von Statistiklehrern größer als 100 ist.