Frage 1: In einer klassischen Studie zur Bindung von Säuglingen platzierte Harlow (1959) Säuglingsaffen in Käfigen mit zwei künstlichen Ersatzmüttern. Eine „Mutter“ bestand aus blankem Drahtgeflecht und enthielt eine Babyflasche, aus der die Säuglinge füttern konnten. Die andere Mutter bestand aus weichem Frottee und bot keinen Zugang zu Nahrungsmitteln. Harlow beobachtete die Säuglingsaffen und zeichnete auf, wie viel Zeit pro Tag mit jeder Mutter verbracht wurde. An einem typischen Tag verbrachten die Säuglinge insgesamt 18 Stunden damit, sich an eine der beiden Mütter zu klammern. Wenn es keine Präferenz zwischen den beiden gäbe, würden Sie erwarten, dass die Zeit gleichmäßig verteilt wird, mit einem Durchschnitt von µ = 9 Stunden für jede der Mütter. Der typische Affe verbrachte jedoch ungefähr 15 Stunden pro Tag mit der Frotteemutter, was auf eine starke Vorliebe für die weiche, kuschelige Mutter hinweist. Angenommen, eine Stichprobe von n = 9 Säuglingsaffen im Durchschnitt M = 15,3 Stunden pro Tag mit SS = 216 bei der Frotteemutter. Reicht dieses Ergebnis aus, um den Schluss zu ziehen, dass die Affen deutlich mehr Zeit mit der weicheren Mutter verbracht haben, als es ohne Präferenz zu erwarten wäre? Verwenden Sie einen zweiseitigen Test mit \(\alpha = .05\).

Lösung: Wir wollen folgendes testen Null- und Alternativhypothesen

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {9}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {9} \\ \end{align}\]

Da die Populationsstandardabweichung $ \ sigma $ unbekannt ist, müssen wir einen t-Test mit der folgenden Formel verwenden:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}\]

Dies entspricht einem zweiseitigen t-Test.

\[s=\sqrt{\frac{SS}{n-1}}=\sqrt{27}=5.196152\]

Die t-Statistik wird nach folgender Formel berechnet:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}=\frac{15.3-9}{5.1962/\sqrt{9}}=3.6373\]

Der kritische Wert für \(\alpha = 0.05\) und für df = n-1 = 9 -1 = 8 Freiheitsgrade für diesen zweiseitigen Test ist \(t_{c} = 2.31\). Der Ablehnungsbereich ist gegeben durch

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.31} \right\}\]

Seit \(|t| = 3.6373 {>} t_c = 2.31\) lehnen wir die Nullhypothese H ab ₀ .

Daher haben wir genügend Beweise, um die Behauptung zu stützen, dass die Affen wesentlich mehr Zeit mit der weicheren Mutter verbracht haben, als es zu erwarten wäre, wenn es keine Präferenz gäbe.

Frage 2: Bei einer Stichprobengröße von 38, einem Stichprobenmittelwert von 660,3 und einer Stichprobenstandardabweichung von 95,9 müssen wir den folgenden Hypothesentest durchführen.

Nullhypothese H0: μ = 700

Alternative Hypothese H0: μ ≠ 700

Bei Signifikanzniveau 0,05

ein. Berechnen Sie die Teststatistik
(Tipp: Dies ist der Fall, wenn wir die Behauptung über den Populationsmittelwert mit nicht bekannter Populationsstandardabweichung testen. 95,9 ist eine Stichprobenstandardabweichung, keine Populationsstandardabweichung.)

b. Verwenden Sie Tabelle A-3, um den kritischen Wert für diesen Test zu ermitteln und eine Entscheidung zu treffen:
die Nullhypothese ablehnen oder nicht ablehnen

Lösung: a) Unser Interesse besteht darin, die folgenden Null- und Alternativhypothesen zu testen

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {700}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {700} \\ \end{align}\]

Da die Populationsstandardabweichung \(\sigma\) unbekannt ist, müssen wir einen t-Test mit dem folgenden Ausdruck verwenden:

\[t =\frac{\bar{X}-\mu }{s / \sqrt{n}}\]

Dies entspricht einem zweiseitigen t-Test. Die t-Statistik wird nach folgender Formel berechnet:

\[t=\frac{\bar{X}-\mu }{s /\sqrt{n}}=\frac{{660.3}-700}{95.9/\sqrt{38}}={-2.5519}\]

b) Der kritische Wert für \(\alpha = 0.05\) und für \(df = n- 1 = 38 -1 = 37\) Freiheitsgrade für diesen zweiseitigen Test ist \(t_{c} = 2.026\). Der Ablehnungsbereich ist gegeben durch

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.026} \right\}\]

Seit \(|t| = 2.5519 {>} t_c = 2.026\) lehnen wir die Nullhypothese H ab ₀ .

Daher haben wir genügend Beweise, um die Behauptung zu untermauern, dass der Bevölkerungsdurchschnitt von 700 abweicht.

Frage 3: Ein Immobilienmakler möchte feststellen, ob sich Steuerberater und Immobiliengutachter auf die Werte von Immobilien einigen. Eine Zufallsstichprobe der beiden Gruppen bewertete 10 Häuser. Die Daten werden hier angezeigt. Gibt es einen signifikanten Unterschied in den Werten der Häuser für jede Gruppe? Verwenden Sie a = 0,05.

	Immobiliengutachter	Tax assessors
Mean	83.256 USD	88.354 USD
Standardabweichung	$ 3256	2340 $
Sample size	10	10

Lösung: Wir sind am Testen interessiert

\[\begin{align}{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}} {=} {{\mu }_{2}} \\ {{H}_{A}}:{{\mu }_{1}} {\ne} {{\mu }_{2}} \\ \end{align}\]

Dies entspricht einem zweiseitigen unabhängigen Stichproben-T-Test. Vor der Anwendung des t-Tests muss geprüft werden, ob die Varianzen als gleich angenommen werden können oder nicht. Wir müssen testen

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2} \\{{H}_{A}}:\sigma _{1}^{2}\ne \sigma _{2}^{2} \\ \end{align}\]

Die F-Statistik wird berechnet als

\[F=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}=\frac{{3256}^{2}}{{2340}^{2}}=1.9361\]

Die unteren und oberen kritischen Werte für \(\alpha =0.05\) und df ₁ = 9 und df ₂ = 9 sind

\[{{F}_{lower}}=0.2484,\,\,\,{{F}_{upper}}=4.026\]

was bedeutet, dass wir die Nullhypothese gleicher Varianzen nicht ablehnen. Beachten Sie, dass wir davon ausgehen, dass die Varianzen gleich sind, sodass die t-Statistik wie folgt berechnet wird:

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}\]

wobei die gepoolte Standardabweichung berechnet wird als

\[{{s}_{p}}=\sqrt{\frac{\left( {{n}_{1}}-1 \right)s_{1}^{2}+\left( {{n}_{2}}-1 \right)s_{2}^{2}}{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2}}=\sqrt{ \frac{9\times {3256}^{2}+9 \times {2340}^{2}}{9+9}}= {2835.2369}\]

Dies bedeutet, dass die t-Statistik ist

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}=\frac{{83256}-{88354}}{2835.2369\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}}={-4.0206}\]

Der kritische Wert für \(\alpha = 0.05\) und für \(df = 18\) Freiheitsgrade für diesen zweiseitigen Test ist \(t_{c} = 2.1\). Der Ablehnungsbereich ist gegeben durch

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.1} \right\}\]

Seit \(|t| = 4.0206 {>} t_c = 2.1\) lehnen wir die Nullhypothese H ab ₀ .

Daher haben wir genügend Beweise, um die Behauptung zu stützen, dass es für jede Gruppe einen signifikanten Unterschied in den Werten der Häuser gibt.