Statistik-Tutorials - Z Scores
Angenommen, \(X\) hat eine Normalverteilung mit dem Mittelwert \(\mu\) und der Standardabweichung \(\sigma\). Dies wird normalerweise als geschrieben
\[X \sim N( \mu, \sigma^2 )\]Dann ist die Z-Score zugeordnet zu \(X\) ist definiert als
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}}\]Beispiel: Betrachten Sie die Zufallsvariable \(X\), die als Normalverteilung den Mittelwert \(\mu = 34 \) und die Standardabweichung \(\sigma = 4\) aufweist. Berechnen Sie den Z-Score von \(X = 41\).
Antworten ::
Using the definition of z-score, we use the following formula: \[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{41 - 34}{4} }= \frac{7}{4} = 1.75\]Was bedeutet der Z-Score?
Der Z-Score gibt an, wie weit die Zufallsvariable \(X\) von ihrem Mittelwert \(\mu\) entfernt ist. Dieses Maß ist nicht willkürlich, es zeigt an wie viele Standardabweichungen Der Wert von \(X\) ist von \(\mu\) entfernt. Mit anderen Worten, ein Z-Score von 1,75 zeigt an, dass der Wert von \(X\) 1,75 Standardabweichungen von seinem Mittelwert entfernt ist. Da der Z-Score positiv ist, bedeutet dies, dass der Wert von \(X\) 1,75 Standardabweichungen rechts vom Mittelwert beträgt, um genau zu sein.
Anwendungsbeispiel: Peter hat letzte Woche seine Finanzprüfung abgelegt und 89/100 bekommen. Der Mittelwert für seine Klasse war 77 mit einer Standardabweichung von 15. Jenna hat letzte Woche auch ihren Mathe-Test gemacht und 84/100 bekommen. Der Mittelwert für ihre Klasse war 75 mit einer Standardabweichung von 5. Sie stritten sich darüber, wer es besser machte, wer Ihrer Meinung nach im Vergleich zu ihrer Klasse besser abschnitt.
Antworten :: Wir müssen Z-Scores verwenden. Für Peter haben wir
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}} = \displaystyle{\frac{89 - 77}{15}} = \frac{12}{15} = 0.8\]Auf der anderen Seite für Jenna:
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{84 - 75}{5}} = \frac{9}{5} = 1.8\]Der mit Jennas Score-Test verbundene Z-Score ist höher als der mit Peters Score-Test verbundene Z-Score-Test, was bedeutet, dass Jenna im Vergleich zu ihrer Klasse besser abschneidet als Peter.
Warum verwenden wir Z-Scores?
Die Idee hinter der Verwendung von Z-Score besteht darin, bestimmte Roh-Scores zu normalisieren, die in verschiedenen Maßstäben gemessen werden können. Durch Normalisierung der Scores können wir die in verschiedenen Skalen gemessenen Roh-Scores dahingehend vergleichen, wie sie in Bezug auf ihre eigene Bevölkerung stehen.
Die Verwendung von Z-Scores ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit zur Normalisierung. Es gibt auch andere standardisierte Scores, wie z. B. die T-Scores, die anhand des Z-Scores unter Verwendung der Formel \(T = 50 = 10z\) berechnet werden, wobei z der entsprechende Z-Score ist. Sie können dies verwenden Z-Score bis T-Score Taschenrechner, um die Berechnung durchzuführen.