Álgebra Tutoriais

A equação do círculo

Um círculo é uma das figuras geométricas mais notáveis. Tem uma simetria notável, baseada no fato de que TODOS os pontos do círculo são equidistantes do centro, o que em inglês significa que todos os pontos do círculo estão à mesma distância do centro. Esta distância comum $r$ é chamada de raio do círculo .

O círculo tem muitas aplicações geométricas importantes, o que o torna um objeto muito importante tanto na geometria quanto na álgebra.

Outra propriedade crucial do círculo é que ele é facilmente representado algebricamente. Isso significa que podemos facilmente definir uma equação para representar todos os pontos em um determinado círculo. Para colocar mais concretamente, considere o plano de coordenadas $X - Y$ . Tudo isso significa que temos os eixos X e Y, que são perpendiculares entre si

Equação do círculo

Agora, vamos falar sobre a equação que representa todos os pontos de um determinado círculo. De fato, para um círculo de raio $r$ , a seguinte equação descreve os pontos $(x, y)$ que estão no círculo:

\Large x^2 + y^2 = r^2

O acima corresponde à equação de um círculo de raio $r$ , com centro localizado em $(0,0)$ , origem dos eixos coordenados.

Quando o raio é $r = 1$ , temos o que é chamado de círculo unitário .

Ao olhar para a equação acima, a interpretação geométrica é que $x$ e $y$ são os lados de um triângulo e $r$ é sua hipotenusa

Outra maneira de ver a equação do círculo é tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação, então obteríamos $\sqrt{x^2+y^2} = r$ , que indica que para qualquer ponto $(x,y)$ no círculo, o distância da origem (neste caso, o centro do círculo) é igual a $r$ .

Equação de um círculo que não está centrado na origem

Uma vantagem de trabalhar em eixos coordenados é que os pontos do círculo e o centro podem ser localizado nos eixos, e pode ser representado por uma equação, como mostrado acima. Mas, em geral, o centro do círculo não precisa ser a origem, pode ser qualquer ponto $(x_0, y_0$ nos eixos coordenados, caso em que a equação do círculo se torna:

\Large (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2

que é conhecido como o Equação geral de um círculo . Por exemplo, digamos que você precise calcular a equação de um círculo de raio $r = 4$ , que está centrado no ponto $(1,2)$ . Então, neste caso, temos $x_0 = 1$ , $y_0 = 2$ e $r = 4$ , e então apenas colocamos esses números na equação acima e obtemos

\large (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4^2

ou também podemos escrever

\large (x-1)^2 + (y-2)^2 = 16

Exemplo 1

Escreva a equação do círculo de raio 3, com centro na origem. Usando a equação, determine se o ponto (1, 2) pertence ou não ao círculo.

Resposta:

Primeiro, vamos determinar a equação do círculo. Neste caso, o círculo está centrado na origem, então $(x_0, y_0) = (0, 0)$ . Portanto, a equação é

\large x^2 + y^2 = 3^2

que é o mesmo que

\large x^2 + y^2 = 9

Agora, a questão é se o ponto (1, 2) está ou não no círculo. Sabemos que os pontos no círculo serão tais que $x^2 + y^2 = 9$ .

Para o ponto $(1, 2)$ obtemos que $x = 1$ e $y=2$ , então para este caso desse ponto, $x^2 + y^2 = 1^2 + 2^2 = 1+ 4 = 5$ que é diferente de 9, e portanto $(1,2)$ não pertence ao círculo.

Mais sobre a equação do círculo

O círculo é uma entidade matemática tão importante, que volumes de livros foram escritos sobre ele. Os círculos cruzam a geometria, a trigonometria e a álgebra, por isso é uma aparência transversal em toda a matemática.

Como trabalhar a equação de um círculo?

Quando trabalhamos com um círculo, há várias coisas para resolver. A primeira coisa é construir a equação do círculo. Por exemplo, considere um círculo de raio $r = 3$ , que está centrado no ponto $(1,1)$ .

Com base na equação geral de um círculo, a equação é

\large (x-1)^2 + (y-1)^2 = 3^2

A equação acima pode ser usada, por exemplo, para determinar se um ponto pertence ao círculo ou não. O que mais você pode fazer para resolver a equação do círculo? Você poderia expandir os quadrados, então temos

\large x^2 - 2x + 1 + y^2 -2y + 1 = 9

que pode ser simplificado em

\large x^2 - 2x + y^2 -2y = 7

Assim, ambas as equações são equivalentes, no sentido de que determinam o mesmo círculo. Qual você prefere? $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 3^2$ ou $x^2 - 2x + y^2 -2y = 7$ ? É questão de gosto e para que você usaria a fórmula.

Área de um círculo

Curiosamente, para calcular o Área de um círculo , você não precisa da equação completa, você só precisa saber o raio. Em outras palavras, o área e circunferência de um círculo não dependem de seu centro.

A equação de um círculo é uma função?

Essa é uma dúvida que muitos alunos têm, e precisamos esclarecer. Em primeiro lugar, o equação do círculo é uma equação, não uma relação ou uma função.

Agora, a equação do círculo determina uma relação, e não uma função , quando você algebricamente resolva y em função de x . De fato, se resolvermos para $y$ obtemos:

\large x^2 + y^2 = 9 \Rightarrow y^2 = 9 - x^2

\large \Rightarrow y = \pm \sqrt{ 9 - x^2}

Isso significa que para um dado $x$ , existem dois valores de $y$ que estão associados, que são $\sqrt{ 9 - x^2}$ e $-\sqrt{ 9 - x^2}$ , o que indica que a equação do círculo determina um relação em vez de uma função.

Um caso específico do círculo é o círculo unitário , com a equação $x^2 + y^2 = 1$ , que está centrada na origem. O círculo unitário é especialmente adequado para trabalhar com expressões trigonométricas de uma forma muito visual.