Calculadora de fórmula de distância

A distância entre dois pontos no plano euclidiano é um dos conceitos básicos da Geometria. Embora não seja um conceito estático ou universal, pois existem muitas medidas potenciais de “distância” em matemática.

Na verdade, diferentes tipos de geometria podem usar diferentes tipos de distâncias. E todas essas geometrias, incluindo a geometria euclidiana, definem distâncias que são lógicas e consistentes e mantêm todas as propriedades esperadas para uma distância.

Como você calcula a distância?

Esta calculadora é baseada na distância da geometria euclidiana. Suponha que temos dois pontos \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\), então a fórmula da distância é calculada da seguinte forma, usando a seguinte fórmula:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \]

Esta é comumente a fórmula da distância entre dois pontos, que tem a interpretação mais comum de ser a distância física real que nossos sentidos percebem.

Por que calculamos a distância?

A distância é uma das noções geométricas mais básicas que os humanos possuem, e o conceito de distância tem sido a base de muitas das ideias da Geometria, o que por sua vez dá origem à Matemática como disciplina.

Calcular distâncias tem a ver com muitas coisas práticas, como a distância que as coisas estão, especialmente quando as coisas não estão muito próximas, para as quais uma noção clara de distância desempenha um papel crucial.

Explicação da fórmula da distância

A expressão acima define como usar a fórmula para os dois pontos fornecidos. O que se faz é simples: a primeira componente do ponto 1 e a primeira componente do ponto 2 são subtraídas e o resultado é elevado ao quadrado.

O mesmo é feito para o segundo ponto: a segunda componente do ponto 1 e a segunda componente do ponto 2 são subtraídas e o resultado é elevado ao quadrado. Esses dois valores quadrados são somados e você obtém a raiz quadrada do resultado. O número final que você obtém é a distância

Como você resolve problemas de distância?

Não existe uma resposta única para essa pergunta, pois os problemas de distância podem assumir diferentes formas. Normalmente, você receberá dois pontos e será solicitado a calcular a distância . Esse é possivelmente o tipo mais fácil que você obterá.

Mas então você pode ir tão forte quanto desejar. Por exemplo, você dá círculos (com o correspondente equações de círculo ) e pergunte quais pontos nos círculos estão a uma determinada distância fixa \(D\). Esse problema é definitivamente mais difícil que o anterior.

As perguntas sobre fórmulas de distância podem vir em todas as formas e formatos e podem ser tão difíceis quanto você possa imaginar. É claro que em um curso básico você provavelmente aplicará apenas a fórmula diretamente.

O que é um exemplo de distância?

As distâncias geométricas são os exemplos mais claros de distâncias. Por exemplo, se você tiver um quadrado de lado 2 que tem seu canto inferior esquerdo na origem, e você deseja calcular a distância entre o canto inferior esquerdo e o canto superior direito, você calcula:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \displaystyle \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 2)^2} = \displaystyle \sqrt{2^2 + 2^2} = \displaystyle \sqrt{8} = \displaystyle 2 \sqrt{2} \]

Existem outros exemplos de distância, com interpretação semelhante, como a distância que você encontra na Física. Na verdade, eles estão intimamente relacionados, mas há muitas sutilezas aí.

De que forma isso está relacionado à fórmula do ponto médio?

O Fórmula do Ponto Médio está intimamente relacionado à fórmula da distância, pois o ponto médio é um ponto específico com a propriedade especial de que a distância de um dos pontos até ele é igual à metade da distância total.

Exemplos

Suponha que temos dois pontos \((1, 3)\) e \((4, 8)\), então a fórmula da distância é calculada da seguinte forma:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(1 - 4)^2 + (3 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

A raiz quadrada acima de \(\sqrt 34\) não pode ser mais simplificada, então deixamos assim. Às vezes, você será solicitado a fornecer uma resposta decimal aproximada, que neste caso seria \(\sqrt 34 \approx 5.8310 \).

Mais exemplos

Como lidar com a fórmula da distância com frações? É tudo a mesma mecânica. Suponha que temos dois pontos \((\frac{1}{2}, \frac{1}{4})\) e \((\frac{3}{5}, \frac{3}{4})\), então a fórmula da distância é calculada da seguinte forma:

\[ D = \displaystyle \sqrt{ \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{10}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{100} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{50}} \approx 5.8310 \]

A distância precisa ser em duas dimensões?

Não necessariamente. Na verdade podemos ter dois pontos em um espaço n-dimensional: \(u = (u_1, u_2, ..., u_n)\) e \(v = (v_1, v_2, ..., v_n)\). A distância agora é calculada elevando ao quadrado as diferenças de todos os componentes, somando-os e extraindo a raiz quadrada:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + ... + + (u_n - v_n)^2} \]

A distância tem alguma coisa a ver com pitágoras

Pode apostar que sim! Como a sua intuição lhe diz corretamente, a raiz quadrada da soma dos quadrados se assemelha muito à raiz quadrada da soma dos quadrados. Teorema de Pitágoras e também o que você faz quando você resolver triângulos .

Isso ocorre porque estamos definindo a distância entre dois pontos na geometria pitagórica, como o tamanho da hipotenusa de um triângulo em que os vértices são definidos pelos pontos dados.

Ou alternativamente, você pode obter esses dois pontos e calcular o ponto médio .