Calculadora de Matriz Invertível

Um dos elementos centrais da Álgebra Linear é o conceito de uma matriz. As matrizes são conjuntos de números organizados em filas e colunas.

As operações com matrizes podem ser definidas intuitivamente, especialmente quando se somam ou subtraem matrizes, que no final tudo o que se faz é adicionar e subtrair componente por componente.

A ideia de multiplicação de matrizes é um pouco menos intuitivo para os não iniciados, mas, tem de confiar em mim aqui, há boas razões para que a multiplicação da matriz seja definida da forma como é.

Para que utiliza a matriz inversa?

• Quando uma matriz é invertível, pode calcular o seu inverso
• Pode usar o inverso para mover livremente a matriz "para o outro lado da equação"
• Isto permite-lhe simplesmente resolver um sistema de equações através encontrar o inverso de uma matriz

O que é o inverso de uma Matriz?

As matrizes quadradas (isto é, matrizes que têm o mesmo número de linhas e colunas) podem ser invertíveis ou não.

Para uma matriz <\(A\) ser invertível significa que existe outra matriz \(B\) tal que o produto de \(A\)> e \(B\)> é igual à matriz de identidade (uma matriz especial com um na diagonal, e zeros fora da diagonal).

Porque estaria interessado em saber se uma matriz é ou não invertível, pode perguntar? Boa pergunta. Quando a matriz é invertível, podemos "passar a matriz para o outro lado", da mesma forma que o faria numa simples equação com números.

Neste caso, pode encontrar o inverso da matriz e "passa" o inverso da matriz para o outro lado da equação

Em termos práticos, se tiver uma equação matricial \( Ax = b \), e \(A\) é invertível, então a equação tem uma solução única, que pode ser escrita como \(x = A^{-1} b\), onde \(A^{-1}\) é a matriz inversa de A, sob a suposição de que ela existe.

Quando uma matriz é invertível?

Há muitas, muitas formas de caracterizar se uma matriz é ou não invertível. É possível aplicar diferentes "testes" para determinar se uma matriz é ou não invertível. O teste que escolher irá, por vezes, depender da estrutura da matriz.

Um teste comummente utilizado para avaliar se uma matriz é invertível é primeiro calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, então a matriz é invertível. Mas então se for zero, então a matriz NÃO é invertível. Muito simples, huh?

Uma matriz é inversível 3x3? Como saber

Primeiro, uma vez que 3x3 é uma matriz quadrada, é um candidato a verificar a sua invertibilidade (as matrizes não quadradas são imediatamente descartadas)

Todas as matrizes 2x2 são invertíveis?

De modo algum. Há muitas matrizes 2x2 que não são invertíveis. Por exemplo, a matriz

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\]>>

é um exemplo simples de uma matriz 2x2 que não é invertível.

Como se sabe se uma matriz é invertível sem determinante?

Como dissemos anteriormente, há muitos testes para avaliar se uma matriz é ou não invertível, e nem todos os métodos utilizam o determinante

Um método a fazer é utilizar o método Gauss (utilizando o funcionamento de matrizes elementares) para converter a matriz em forma de fila de escalões e, uma vez isso feito, dá-se uma olhada na diagonal da forma de escalão: se todas as diagonais não forem zero, então a matriz é invertível, e se QUALQUER elemento na diagonal da forma de escalão for zero, então a matriz não é invertível.

Exemplo: Invertibiliy de uma Matriz

Pergunta: Assumir que tem a seguinte matriz:

\[ \begin{bmatrix}2&1&2\\1&4&1\\2&1&3\end{bmatrix}\]>>

Solução: Temos de determinar se a matriz \(3 \times 3\) que foi fornecida é ou não invertível.

Passo 1: Método utilizado

Há vários métodos para determinar se uma matriz é ou não invertível. O método que iremos utilizar neste caso é o método do determinante.

Em termos muito simples, vamos calcular o determinante, e se o determinante for diferente de zero, então a matriz é invertível, mas é igual a zero, então a matriz não é invertível.

Passo 2: Cálculo do Determinante

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \cdot \left( 3 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 11 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( -7 \right) = 7\]>>>

Etapa 3: Conclusão

Concluímos que desde <\(\det A = \displaystyle 7 \ne 0\), então a matriz dada é invertível.