Mais sobre esta calculadora determinante.

Na álgebra linear e na utilização de matrizes, a ideia do determinante de uma matriz $A$ é um conceito da mais profunda importância.

Isto porque a sua utilização está ligada a quase todas as operações significativas que desejará fazer com matrizes, tais como a verificação da invertibilidade das matrizes, encontrar o inverso de uma matriz ou sistemas de resolução .

Assim, onde quer que olhe à sua volta quando trabalha com matrizes, encontrará determinantes de uma forma ou de outra. Portanto, é muito importante familiarizar-se com eles.

Como é que esta calculadora matricial o pode ajudar

1. Tudo o que precisa de fazer é digitar a sua matriz
2. Tem de ser uma matriz quadrada, isto é, uma matriz com o mesmo número de filas e colunas
3. Basta clicar no botão e a calculadora mostrar-lhe-á todos os passos e o valor final do determinante
4. Trabalhar em cálculos determinantes pode ser extremamente trabalhoso e propenso a erros. Esta calculadora poupa-o a esses problemas

Como se calcula o factor determinante de uma matriz?

Isso poderia ser uma resposta longa, porque há muitas maneiras de calcular o determinante de uma matriz. Digamos primeiro que os determinantes são apenas cálculos para matrizes quadradas (isto é matrizes que têm o mesmo número de filas e colunas).

Assim, a menor matriz para a qual podemos calcular um determinante é uma matriz 2x2. Consideremos uma matriz genérica de 2x2, como se mostra abaixo:

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

Qual é a fórmula do determinante? Neste caso, o determinante da matriz $A$ é simplesmente calculado como $\det(A) = a d - bc$>

Assim, por exemplo, se o tivéssemos feito:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$$

o determinante da matriz <$A$ seria $\det(A) = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$>>. Fácil, certo?

Como se encontra o determinante de uma matriz 3x3?

Agora, para matrizes maiores, construímos o cálculo do determinante com base no sub-determinante de matrizes mais pequenas. Só para lhe dar um sabor, vamos ver uma forma de calcular o determinante de uma matriz 3x3. Considere

$$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$

Neste caso, o determinante da matriz 3x3 matriz $A$ é calculado com base na operação de vários determinantes 2x2

$$\det(A) = a \det \begin{bmatrix}e & f \\ h & i \end{bmatrix} - b \det \begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix} + c \det\begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix}$$

Nas equações acima, os valores $a$, $b$, $c$ desempenham o papel de pivôs, e podem obter um sinal negativo. O sinal de um pivô é <$(-1)^{i+j}$, onde o pivô correspondente está na fila $i$ e na coluna $j$>>.

Por exemplo <$a$ está na linha 1, coluna 1, portanto o seu sinal é $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$> (positivo). Também, <$b$ está na fila 1, coluna 2, pelo que o seu signo é $(-1)^{1+2} = (-1)^3 = -1$ (negativo), e assim por diante.

A magia é escolher qualquer linha ou coluna como pivots. Cada pivô terá um sinal associado (positivo ou negativo) e um sub-determinante, que estão relacionados com a co-factores de matriz .

Este sub-determinante é o verdadeiro determinante da matriz original após a remoção da linha $i$ e coluna $j$, para pivot que está na linha $i$ e coluna $j$>.

A convenção mais lógica indica a escolha da fila ou colum com mais zeros para os pivots, de modo a evitar calcular alguns dos sub-determinantes, se possível.

Como é que se encontra o determinante de uma matriz 3x4?

Não o pode fazer. Uma matriz 3x4 não é uma matriz quadrada, e por isso, nenhum determinante pode ser computado. Para calcular um determinante, a matriz precisa de ter o mesmo número de filas e colunas.

Uma calculadora 4x4 determinante

Para matrizes maiores, a metodologia é a mesma: Escolha uma linha ou coluna para os pivôs, idealmente aquela com o maior número de zeros. Encontrar o sinal correspondente a cada pivô, e encontrar os sub-determinantes correspondentes.

Assim, reduz-se o cálculo do determinante de uma matriz 4x4 para a operação de quatro determinantes 3x3. E, por sua vez, cada um dos determinantes 3x3 é encontrado como a operação de vários determinantes 2x2, para os quais conhecemos uma fórmula.

Por isso, pode ficar desarrumado muito rapidamente.

Exemplo de cálculo de um determinante de matriz

Pergunta: Considere a seguinte matriz:

$$\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&4\\2&3&8\end{bmatrix}$$

Calcular o factor determinante da matriz dada, mostrando os passos.

Solução: Precisamos de calcular o determinante da matriz $3 \times 3$ que foi fornecida.

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

$$\begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 8 \right) - 3 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 3 \cdot \left( 3 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) \right)$$ $$= 1 \cdot \left( -4 \right) - 2 \cdot \left( 16 \right) + 3 \cdot \left( 7 \right) = -15$$

Conclusão : Com base nos cálculos apresentados acima, verifica-se que o determinante da matriz é $\det A = \displaystyle -15$>>.

Outras calculadoras matriciais úteis que pode utilizar

Os cálculos de matriz feitos à mão são trabalhosos, pelo que pode tirar partido dos nossos solucionadores de álgebra linear.

Primeiro, pode usar esta calculadora de matriz inversa para calcular o inverso de uma matriz mostrando passos, e pode fazê-lo por método em anexo , ou utilizando Redução de RREF .