Mais sobre este solucionador de sistema de equações

Esta calculadora permite calcular a solução de um sistema de equações lineares, desde que o número de equações seja igual ao número de variáveis e você possa definir um sistema de até cinco variáveis e cinco equações.

Resolver um sistema de equações pode ser trabalhoso e requer muitos cálculos, especialmente para sistemas grandes.

Como resolver um sistema de equações

Existem várias estratégias, mas as mais utilizadas são:

• O método gráfico
• O método de substituição
• O método de eliminação

Esses métodos são amplamente utilizados, principalmente para sistemas 2x2 (isto é, sistemas com 2 variáveis e 2 equações). O problema com esses métodos é que eles se tornam complicados para sistemas maiores.

E o método gráfico só é aplicável para sistemas 2x2. Para sistemas grandes, você pode usar regras mais sistemáticas, como eliminação de Gauss e Método de Cramer .

Existem vários métodos que podem ser usados para calcular soluções para sistemas de equações lineares, mas preferimos usar o Regra de Cramer abordagem, pois é uma das maneiras mais fáceis de recuperar o cálculo das soluções do sistema.

Como resolver um sistema de equações com esta calculadora

1. Decida o tamanho do sistema (número de variáveis e número de equações). As opções são sistemas 2x2, 3x3, 4x4 e 5x5
2. Uma vez que o tamanho é especificado, você precisa especificar os coeficientes associados a cada variável
3. Se um coeficiente não for usado, deixe-o em branco ou digite 0
4. Clique em "Calcular" e este solucionador mostrará todas as etapas e soluções

A Regra de Cramer está intimamente relacionada a isso calculadora de soluções de um sistema de equações usando matrizes , então você também pode usar essa rota.

Este é um solucionador de equações do sistema de 5

Sim, com este solver você pode obter soluções para sistemas de até 5 equações e 5 variáveis. A metodologia para mais variáveis e equações não muda realmente, mas os cálculos manuais se tornam muito longos. Portanto, para equações maiores que 5, você pode resolvê-las com um computador.

Como você resolve um sistema de equações usando este solucionador?

Passo 1: Você precisa especificar o sistema de equações que deseja resolver, preenchendo os espaços em branco com os coeficientes do sistema. Observe que quando uma variável não está na equação, seu coeficiente deve ser igual a zero.

Passo 2: Basta clicar em "Calcular" e este solucionador fará o resto. Primeiro, a calculadora encontrará a forma da matriz.

Passo 3: O solver calculará o determinante da matriz A. Se det(A) = 0, sabemos que o sistema não terá uma solução única.

Passo 4: A calculadora calculará a matriz adjunta.

Etapa 5: O solver usa a fórmula da Regra de Cramer para calcular as soluções correspondentes:

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Então, como você resolveria uma equação de 6 variáveis?

Seria exatamente a mesma abordagem, só que o cálculo da matriz adjunta seria potencialmente muito trabalhoso. Você seria melhor com um CAS como Mathematica ou Matlab para obter as soluções, pulando todo o passo a passo, que pode ser muito extenso.

Você pode usar o Excel para resolver um sistema de equações?

Tecnicamente, você pode, usando algumas funções de grupo especiais, como "= MMULT", mas geralmente o usuário médio do Excel não saberá como fazê-lo, normalmente.

A vantagem deste solucionador de sistema de equações com etapas é que tudo o que você precisa fazer é especificar o Sistema de equações você deseja resolver, usando uma interface visualmente intuitiva. A partir daí, basta clicar em "Compute" para obter o cálculo passo a passo.

Exemplo de um sistema de solução de equações

Considere o seguinte sistema de equações

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, & z & \, = \,3\\2 x&\, + \, &2 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Resolva o sistema acima usando a Regra de Cramer, mostrando todos os passos.

Solução: Um sistema \(3 \times 3\) de equações lineares foi fornecido.

Etapa 1: encontre a estrutura de matriz correspondente

O primeiro passo consiste em encontrar a matriz \(A\) e o vetor \(b\) correspondentes que permitem que o sistema seja escrito como \(A x = b\).

Neste caso, e com base nos coeficientes das equações fornecidas, obtemos que

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

e

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Etapa 2: Calcular o Determinante da Matriz

Agora, precisamos calcular o determinante de \(A\) para saber se podemos ou não usar a Regra de Cramer:

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 0 \right) = 2\]

Como \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\), concluímos que a matriz é invertível, e podemos continuar com o uso da Regra de Cramer.

Etapa 3: computando as soluções

Agora, precisamos calcular cada uma das soluções \(x_j\), usando a fórmula:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

onde \(A^j\) corresponde exatamente à matriz \(A\) exceto que a coluna j é substituída por \(b\).

Para <\(x\):

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 3 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -7 \right) + 1 \cdot \left( -3 \right) = 12\]

Agora descobrimos que usando a fórmula de Cramer, \(x\) é calculado como

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 12 }{ \displaystyle 2} = 6 \]

Para <\(y\):

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -7 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 3 \right) = -5\]

Agora descobrimos que usando a fórmula de Cramer, \(y\) é calculado como

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -5 }{ \displaystyle 2} = -\frac{5}{2} \]

Para <\(z\):

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 3 \right) - 3 \cdot \left( 3 \right) + 3 \cdot \left( 0 \right) = -3\]

Agora descobrimos que usando a fórmula de Cramer, \(z\) é calculado como

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -3 }{ \displaystyle 2} = -\frac{3}{2} \]

Assim, e resumindo, a solução é

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 6\\\\\displaystyle -\frac{ 5}{ 2}\\\\\displaystyle -\frac{ 3}{ 2} \end{bmatrix} \]

que conclui o cálculo das soluções para o sistema linear dado.