Sobre esta calculadora de regras de cramer

Resolvendo sistemas de equações lineares é um dos objetos primordiais em Álgebra. Isso ocorre porque muitas aplicações diferentes levam diretamente à solução de tais sistemas.

Pode ser que, ao trabalhar com um problema de palavras ou ao atribuir dietas ideais aos soldados do Exército, você se depare com algum tipo de sistema linear.

E Regra de Cramer é uma das abordagens mais comuns para resolver grandes sistemas de equações lineares , especialmente quando o número de equações é igual ao número de variáveis.

Não é que a Regra de Cramer simplifique o número de operações necessárias para resolver um sistema de equações, sua fama se baseia no fato de ser uma regra fácil de memorizar.

Primeiro: como a regra de cramer é calculada?

Passo 1: Para que a Regra de Cramer funcione, você precisa começar com um sistema de equações que tenha o mesmo número de equações que o número de variáveis. Se não for esse o caso, pare, você não pode usar a Regra de Cramer.

Passo 2: Identifique o sistema de equação na forma matricial: \(Ax = b\), onde \(A\) é uma matriz \(n \times n\) que contém os coeficientes que multiplicam as variáveis e \(A_{ij}\) é o coeficiente que multiplica o j ^º variável no i ^º equação, e \(b\) é um vetor de tamanho \(n\) que coleta todo o lado direito de cada uma das equações.

Passo 3: Calcule o determinante da matriz \(A\). Se \(\det(A) = 0\), o sistema tem mais de uma solução e a Regra de Cramer não pode fazer mais nada.

Passo 4: Você define a matriz associada \(A^{j}\) para ser a mesma que a matriz \(A\), exceto que a coluna j da matriz \(A\) é substituída por \(b\).

Estágio 5: Se \(\det(A) \ne 0\), existe uma solução única, e os componentes \(x_j\) , com \(j = 1, 2, ..., n\) são calculados como

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Como você faz a regra de cramer em uma calculadora?

Calculadoras diferentes conduzirão a Regra de Cramer para você, mas a maioria não mostrará as etapas. Nossa calculadora irá guiá-lo através de todas as etapas, com todos os detalhes.

Como você resolve uma matriz 4x4 na regra de cramer?

Uma das razões pelas quais a regra de Cramer é tão popular é que sua formulação realmente não muda muito, se é que muda, para diferentes tamanhos de sistema.

De fato, fazer a Regra de Cramer para um sistema 4x4 não é mais difícil do que fazê-lo para um sistema 2x2 (além do cálculo dos determinantes envolvidos será mais trabalhoso).

Em última análise, independentemente do tamanho do sistema, você calcula as soluções de acordo com

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

o que significa que você pega a matriz original e substitui uma coluna de \(A\) por \(b\) e calcula os determinantes e encontra o quociente deles.

Como fazer a calculadora de regras de cramer para ax=b

Resolver ax=b neste contexto refere-se a resolver \(Ax = b\) no nível da matriz. Portanto, o truque para usar corretamente a Regra de Cramer é converter corretamente um determinado sistema de equações em uma equação matricial da forma \(Ax = b\).

Exemplo do uso da regra de cramer

Pergunta: O seguinte sistema de equações lineares \(3 \times 3\) foi fornecido:

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &2 z & \, = \,5\\ x&\, + \, &2 y&\, + \, &8 z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Resolva o sistema acima usando a Regra de Cramer, mostrando todos os passos.

Solução:

Etapa 1: encontre a estrutura de matriz correspondente

O primeiro passo consiste em encontrar a matriz \(A\) e o vetor \(b\) correspondentes que permitem que o sistema seja escrito como \(A x = b\).

Neste caso, e com base nos coeficientes das equações fornecidas, obtemos que

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{bmatrix} \]

e

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Etapa 2: calcular o determinante da matriz

Agora, precisamos calcular o determinante de \(A\) para saber se podemos ou não usar a Regra de Cramer:

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

Como \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\), concluímos que a matriz é invertível, e podemos continuar com o uso da Regra de Cramer.

Etapa 3: computando as soluções

Agora, precisamos calcular cada uma das soluções \(x_j\), usando a fórmula:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

onde \(A^j\) corresponde exatamente à matriz \(A\) exceto que a coluna j é substituída por \(b\).

Para <\(x\):

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 5 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 36 \right) + 4 \cdot \left( 4 \right) = -72\]

Agora descobrimos que usando a fórmula de Cramer, \(x\) é calculado como

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -72 }{ \displaystyle 2} = -36 \]

Para <\(y\):

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 36 \right) - 1 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( -1 \right) = 54\]

Agora descobrimos que usando a fórmula de Cramer, \(y\) é calculado como

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 54 }{ \displaystyle 2} = 27 \]

Para <\(z\):

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(5 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -4 \right) - 3 \cdot \left( -1 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = -4\]

Agora descobrimos que usando a fórmula de Cramer, \(z\) é calculado como

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -4 }{ \displaystyle 2} = -2 \]

Assim, e resumindo, a solução é

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -36\\\\\displaystyle 27\\\\\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

que conclui o cálculo das soluções para o sistema linear dado.