Resolvendo um sistema de equações usando matrizes

Resolvendo sistemas de equações lineares pode ser facilmente uma das habilidades mais práticas que você aprenderá em Álgebra, ou mesmo em Matemática em geral.

A razão para isso é que inúmeras aplicações da vida real que são realmente úteis acabam sendo resolvidas usando sistemas de equações lineares.

Existem muitas metodologias para resolver sistemas, que geralmente utilizam diferentes abordagens. Uma abordagem comum é a abordagem matricial, que consiste em primeiro convertendo o sistema de equação em sua forma matricial .

Como resolver um sistema de equações usando matrizes?

Passo 1: Converta as equações lineares em matriz, onde você identifica \(A\) (a matriz de coeficientes que multiplicam os correspondentes) variáveis e \(b\) (o vetor de coeficientes do lado direito).

Passo 2: Calcule a inversa da matriz \(A\), que chamamos de \(A^{-1}\).

Passo 3: A solução do sistema é \(x = A^{-1} b\). Em outras palavras, você multiplica o inverso de \(A\) por \(b\) para obter o vetor com soluções.

Observe que isso parece bastante simples, mas há muitos cálculos envolvidos para encontrar o inverso \(A^{-1}\), principalmente se o tamanho da matriz for grande. Para um 4x4 e acima, pode ficar bastante longo.

Então, como você pode resolver sistemas em uma calculadora?

Os detalhes variam especificamente, dependendo de cada calculadora. Cada máquina terá seu formato e formato para inserir um sistema. No caso da nossa calculadora, você obtém um panorama visual claro dos coeficientes que precisa preencher para especificar o sistema. Depois disso, a calculadora mostrará todas as etapas relevantes.

O que é consistência de um sistema de equações lineares

Consistência significa que a equação não leva a algo impossível, como "2 = 3". Normalmente, antes de tentar resolver um sistema, no caso de você ter o mesmo número de equações e variáveis, você primeiro calcula o determinante da matriz.

Se o determinante for diferente de zero, você pode prosseguir com o cálculo do inverso com segurança e garantir que o sistema não tenha nenhuma inconsistência.

O que fazer se a matriz não for quadrada: eliminação de gauss

Esse método de resolver um sistema calculando a inversa da matriz de coeficientes A e multiplicando por b só funciona quando o número de variáveis é igual ao número de equações. Se não for esse o caso, seria apropriado usar a eliminação de Gauss.

Exemplo

Considere o seguinte sistema de equações:

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2\\ x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,3 \end{aligned}\]

Resolva o sistema acima usando matrizes.

Solução: Um sistema \(3 \times 3\) de equações lineares foi fornecido e precisamos resolver esse sistema usando matrizes.

Etapa 1: encontre a estrutura de matriz correspondente

O primeiro passo consiste em encontrar a matriz \(A\) e o vetor \(b\) correspondentes que permitem que o sistema seja escrito como \(A x = b\).

Neste caso, e com base nos coeficientes das equações fornecidas, obtemos que

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

e

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Etapa 2: calcular o determinante da matriz

Agora, precisamos calcular o determinante de \(A\) para saber se podemos ou não calcular a inversa da matriz \(A\):

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( 0 \right) = 1\]

Como \(\det(A) = \displaystyle 1 \ne 0\), concluímos que a matriz é invertível, e podemos continuar com o cálculo da inversa.

Passo 3: calculando o inverso

Agora calculamos a matriz de menores. Temos que, por definição, a matriz de menores \(M\) é definida pela fórmula

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

onde neste caso <\( A^{i,j}\) é a matriz \(A\) após eliminação da linha \(i\)> e coluna \(j\)>>.

Portanto, e com base na matriz \(A\)> desde que obtenhamos os seguintes coeficientes da matriz de menores:

Para <\(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para <\(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para <\(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Para <\(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

Para <\(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 2\]

Para <\(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para <\(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Para <\(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

Para <\(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Resumindo, a matriz dos menores é:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Agora, podemos calcular os elementos da matriz do cofactor \(C\) usando a fórmula

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

A fórmula acima pode ser utilizada directamente porque os menores já são conhecidos. Recebemos

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 1 = (-1)^{ 2} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 0 = (-1)^{ 3} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 2 = (-1)^{ 4} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \cdot 1 = (-1)^{ 5} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 1 = (-1)^{ 6} \cdot 1 = -1\]

Portanto, a matriz de cofatores é:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Agora, só precisamos de transpor a matriz de co-factor que encontrámos para calcular a matriz adjunta. Conseguimos:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Finalmente, precisamos multiplicar cada componente da matriz adjunta por \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1\), o que não afeta o adjunto. Assim obtemos:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Etapa 4: computando as soluções

Agora que conhecemos o inverso \(A^{-1}\), o vetor de soluções é calculado como:

\[ x = A^{-1} b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle -1\cdot 1+\left(-2\right)\cdot 2+0\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle 0\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Assim, e resumindo, o vetor solução é

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

que conclui o cálculo das soluções para o sistema linear dado.