Calculadora do sistema de equações usando matrizes


Instruções: Use esta calculadora para resolver um sistema de equações que você fornece usando a inversa de uma matriz, mostrando todas as etapas. Primeiro, clique em um dos botões abaixo para especificar a dimensão do sistema (número de equações e variáveis). Por exemplo, "2x2" significa "2 equações e 2 variáveis"

Em seguida, preencha os coeficientes associados a todas as variáveis e o tamanho à direita, para cada uma das equações. Se uma variável não estiver presente em uma equação específica, digite "0" ou deixe em branco.


x   +   y   +   z   =  
x   +   y   +   z   =  
x   +   y   +   z   =  




Resolvendo um sistema de equações usando matrizes

Resolvendo sistemas de equações lineares pode ser facilmente uma das habilidades mais práticas que você aprenderá em Álgebra, ou mesmo em Matemática em geral.

A razão para isso é que inúmeras aplicações da vida real que são realmente úteis acabam sendo resolvidas usando sistemas de equações lineares.

Existem muitas metodologias para resolver sistemas, que geralmente utilizam diferentes abordagens. Uma abordagem comum é a abordagem matricial, que consiste em primeiro convertendo o sistema de equação em sua forma matricial .

Matriz do Sistema de Equações

Como resolver um sistema de equações usando matrizes?

Passo 1: Converta as equações lineares em matriz, onde você identifica AA (a matriz de coeficientes que multiplicam os correspondentes) variáveis e bb (o vetor de coeficientes do lado direito).

Passo 2: Calcule a inversa da matriz AA, que chamamos de A1A^{-1}.

Passo 3: A solução do sistema é x=A1bx = A^{-1} b. Em outras palavras, você multiplica o inverso de AA por bb para obter o vetor com soluções.

Observe que isso parece bastante simples, mas há muitos cálculos envolvidos para encontrar o inverso A1A^{-1}, principalmente se o tamanho da matriz for grande. Para um 4x4 e acima, pode ficar bastante longo.

Então, como você pode resolver sistemas em uma calculadora?

Os detalhes variam especificamente, dependendo de cada calculadora. Cada máquina terá seu formato e formato para inserir um sistema. No caso da nossa calculadora, você obtém um panorama visual claro dos coeficientes que precisa preencher para especificar o sistema. Depois disso, a calculadora mostrará todas as etapas relevantes.

O que é consistência de um sistema de equações lineares

Consistência significa que a equação não leva a algo impossível, como "2 = 3". Normalmente, antes de tentar resolver um sistema, no caso de você ter o mesmo número de equações e variáveis, você primeiro calcula o determinante da matriz.

Se o determinante for diferente de zero, você pode prosseguir com o cálculo do inverso com segurança e garantir que o sistema não tenha nenhuma inconsistência.

O que fazer se a matriz não for quadrada: eliminação de gauss

Esse método de resolver um sistema calculando a inversa da matriz de coeficientes A e multiplicando por b só funciona quando o número de variáveis é igual ao número de equações. Se não for esse o caso, seria apropriado usar a eliminação de Gauss.

Sistema de equações usando matrizes

Exemplo

Considere o seguinte sistema de equações:

2x+y+2z=1x+y+z=2x+y+2z=3 \begin{aligned} 2 x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2\\ x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,3 \end{aligned}

Resolva o sistema acima usando matrizes.

Solução: Um sistema 3×33 \times 3 de equações lineares foi fornecido e precisamos resolver esse sistema usando matrizes.

Etapa 1: encontre a estrutura de matriz correspondente

O primeiro passo consiste em encontrar a matriz AA e o vetor bb correspondentes que permitem que o sistema seja escrito como Ax=bA x = b.

Neste caso, e com base nos coeficientes das equações fornecidas, obtemos que

A=[212111112] A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix}

e

b=[123] b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix}

Etapa 2: calcular o determinante da matriz

Agora, precisamos calcular o determinante de AA para saber se podemos ou não calcular a inversa da matriz AA:

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

212111112=2(1(2)1(1))1(1(2)1(1))+2(1(1)1(1)) \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) =2(1)1(1)+2(0)=1 = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( 0 \right) = 1

Como det(A)=10\det(A) = \displaystyle 1 \ne 0, concluímos que a matriz é invertível, e podemos continuar com o cálculo da inversa.

Passo 3: calculando o inverso

Agora calculamos a matriz de menores. Temos que, por definição, a matriz de menores MM é definida pela fórmula

Mij=detAi,j M_{ij} = \det A^{i,j}

onde neste caso <Ai,j A^{i,j} é a matriz AA após eliminação da linha ii> e coluna jj>>.

Portanto, e com base na matriz AA> desde que obtenhamos os seguintes coeficientes da matriz de menores:

Para <A1,1A^{ 1, 1}:

M11=detA11=1112=1(2)1(1)=1M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1

Para <A1,2A^{ 1, 2}:

M12=detA12=1112=1(2)1(1)=1M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1

Para <A1,3A^{ 1, 3}:

M13=detA13=1111=1(1)1(1)=0M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0

Para <A2,1A^{ 2, 1}:

M21=detA21=1212=1(2)1(2)=0M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0

Para <A2,2A^{ 2, 2}:

M22=detA22=2212=2(2)1(2)=2M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 2

Para <A2,3A^{ 2, 3}:

M23=detA23=2111=2(1)1(1)=1M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1

Para <A3,1A^{ 3, 1}:

M31=detA31=1211=1(1)1(2)=1M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1

Para <A3,2A^{ 3, 2}:

M32=detA32=2211=2(1)1(2)=0M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0

Para <A3,3A^{ 3, 3}:

M33=detA33=2111=2(1)1(1)=1M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1

Resumindo, a matriz dos menores é:

M=[110021101]M = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1 \end{bmatrix}

Agora, podemos calcular os elementos da matriz do cofactor CC usando a fórmula

Cij=(1)i+jMij C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

A fórmula acima pode ser utilizada directamente porque os menores já são conhecidos. Recebemos

C11=(1)1+11=(1)21=1 C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 1 = (-1)^{ 2} \cdot 1 = 1 C12=(1)1+21=(1)31=1C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1 C13=(1)1+30=(1)40=0C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0 C21=(1)2+10=(1)30=0C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 0 = (-1)^{ 3} \cdot 0 = 0 C22=(1)2+22=(1)42=2C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 2 = (-1)^{ 4} \cdot 2 = -2 C23=(1)2+31=(1)51=1C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \cdot 1 = (-1)^{ 5} \cdot 1 = -1 C31=(1)3+1(1)=(1)4(1)=1C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1 C32=(1)3+20=(1)50=0C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0 C33=(1)3+31=(1)61=1C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 1 = (-1)^{ 6} \cdot 1 = -1

Portanto, a matriz de cofatores é:

C=[110021101]C = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix}

Agora, só precisamos de transpor a matriz de co-factor que encontrámos para calcular a matriz adjunta. Conseguimos:

adj(A)=CT=[110021101]T=[101120011]adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix}

Finalmente, precisamos multiplicar cada componente da matriz adjunta por 1det(A)=11=1\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1, o que não afeta o adjunto. Assim obtemos:

A1=1det(A)adj(A)=11[101120011]=[101120011]A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix}

Etapa 4: computando as soluções

Agora que conhecemos o inverso A1A^{-1}, o vetor de soluções é calculado como:

x=A1b=[101120011][123]=[11+02+1311+(2)2+0301+(1)2+(1)3]=[231] x = A^{-1} b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle -1\cdot 1+\left(-2\right)\cdot 2+0\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle 0\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix}

Assim, e resumindo, o vetor solução é

[xyz]=[231] \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix}

que conclui o cálculo das soluções para o sistema linear dado.

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