Le test t pour les échantillons appariés

En savoir plus sur le test t pour deux échantillons dépendants afin de mieux comprendre les résultats fournis par le solveur.

Comment calcule-t-on un test t par paires ?

Un test t pour deux échantillons appariés est un test d'hypothèse qui tente de formuler une affirmation sur les moyennes de la population (\(\mu_1\) et \(\mu_2\)). Plus précisément, un test t utilise les informations relatives à l'échantillon pour évaluer dans quelle mesure il est plausible que la différence \(\mu_1\) - \(\mu_2\) soit égale à zéro.

Le test comporte deux hypothèses qui ne se chevauchent pas, l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative. L'hypothèse nulle est une déclaration sur le paramètre de la population qui indique qu'il n'y a pas d'effet, et l'hypothèse alternative est l'hypothèse complémentaire à l'hypothèse nulle. L'idée du test est d'évaluer s'il y a ou non une signification statistique. Les principales propriétés du test t pour deux échantillons appariés sont les suivantes :

• Le test nécessite deux échantillons dépendants, qui sont en fait appariés ou appariés, ou nous avons affaire à des mesures répétées (mesures prises à partir des mêmes sujets)


• Comme pour tous les tests d'hypothèses, en fonction de nos connaissances sur la situation "sans effet", le test t peut être bilatéral, unilatéral gauche ou unilatéral droit


• Le principe de base des tests d'hypothèse est que l'hypothèse nulle est rejetée si la statistique de test obtenue est suffisamment improbable si l'on suppose que l'hypothèse nulle est vraie


• La valeur p est la probabilité d'obtenir des résultats de l'échantillon aussi extrêmes ou plus extrêmes que les résultats de l'échantillon obtenus, en supposant que l'hypothèse nulle est vraie


• Dans un test d'hypothèse, il existe deux types d'erreurs. L'erreur de type I se produit lorsque nous rejetons une hypothèse nulle vraie, et l'erreur de type II se produit lorsque nous ne parvenons pas à rejeter une hypothèse nulle fausse

Comment calculer manuellement un test t par paires ? quelle formule utilisez-vous ?

La formule de la statistique t pour deux échantillons dépendants est la suivante :

\[t = \frac{\bar D}{s_D/\sqrt{n}}\]

où \(\bar D = \bar X_1 - \bar X_2\) est la différence moyenne et \(s_D\) est l'écart-type de l'échantillon des différences \(\bar D = X_1^i - X_2^i\), pour \(i=1, 2, ... , n\).

Comment utiliser la formule du test t par paires

• Étape 1: Tout d'abord, vous devez définir vos hypothèses nulle et alternative. Vous avez le choix entre les hypothèses bilatérales, gauches et droites.
• Étape 2: Ensuite, vous devez spécifier votre niveau de signification. En général, vous choisirez α = 0,05. Il s'agit de la tolérance que vous acceptez pour commettre une erreur de type I
• Étape 3: En fonction du niveau de signification choisi et du type de queue, vous trouverez la statistique t critique en consultant un tableau de distribution t ou en utilisant une calculatrice ou Excel. Ensuite, vous indiquez clairement votre région de rejet
• Étape 4: Vous calculez la statistique t à l'aide de la formule spécifiée ci-dessus t = Dbar/(sd/√n)
• Étape 5 : En fonction de la statistique t calculée et du fait qu'elle se situe ou non dans la zone de rejet, vous déterminez si vous rejetez ou non l'hypothèse nulle
• Étape 6 : Utiliser la conclusion du test t pour donner une interprétation dans le contexte du problème spécifique.

Exemple de test t par paires

Question : Supposons que vous disposiez de l'échantillon suivant de données appariées.

	Sample 1	Sample 2	Difference = Sample 1 - Sample 2
	4	2	2
	5	3	2
	6	4	2
	5	5	0
	4	6	-2
	3	4	-1
	5	3	2
Average	4.571	3.857	0.714
St. Dev.	0.976	1.345	1.704
n	7	7	7

L'hypothèse nulle selon laquelle la différence de moyenne de la population est nulle peut-elle être rejetée au niveau de signification de 0,05 ?

Solution:

A partir des données de l'échantillon, on constate que les moyennes correspondantes de l'échantillon sont :

\[\bar X_1 = 4.571\]\[\bar X_2 = 3.857\]

De même, les écarts-types de l'échantillon fourni sont les suivants :

\[ s_1 = 0.976 \]\[ s_2 = 1.345 \]

et la taille de l'échantillon est n = 7. Pour les différences de score, nous avons

\[ \bar D = 0.714 \]\[ s_D = 1.704 \]

(1) Hypothèses nulle et alternative

Les hypothèses nulles et alternatives suivantes doivent être testées :

\[ \begin{array}{ccl} H_0: \mu_D & = & 0 \\\\ \\\\ H_a: \mu_D & \ne & 0 \end{array}\]

Cela correspond à un test bilatéral, pour lequel on utilise un test t pour deux échantillons appariés.

(2) Région De Rejet

Sur la base des informations fournies, le niveau de signification est \(\alpha = 0.05\) et la valeur critique pour un test bilatéral est \(t_c = 2.447\).

La région de rejet pour ce test bilatéral est \(R = \{t: |t| > 2.447\}\)

(3) Statistiques Des Tests

La statistique t est calculée comme suit :

\[ \begin{array}{ccl} t & = & \displaystyle \frac{\bar D}{s_D/ \sqrt n} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{0.714}{1.704/ \sqrt{7}} \\\\ \\\\ & = & 1.109 \end{array}\]

(4) Décision concernant l'hypothèse nulle

Puisqu'on observe que \(|t| = 1.109 \le t_c = 2.447\), on en conclut que l'hypothèse nulle n'est pas rejetée.

En utilisant l'approche de la valeur P : La valeur p est \(p = 0.31\), et puisque \(p = 0.31 \ge 0.05\), on conclut que l'hypothèse nulle n'est pas rejetée.

(5) Conclusion

Il est conclu que l'hypothèse nulle Ho n'est pas rejetée. Par conséquent, il n'y a pas suffisamment de preuves pour affirmer que la différence moyenne de population \(\mu_D = \mu_1 - \mu_2\) est différente de 0, au niveau de signification \(\alpha = 0.05\).

Intervalle De Confiance

L'intervalle de confiance à 95 % est \(-0.862 < \mu_D < 2.291\).

Quelle est l'alternative non paramétrique du test t par paires ?

Il s'agit d'un test paramétrique qui ne doit être utilisé que si l'hypothèse de normalité est respectée. En cas d'échec, il convient d'utiliser le test suivant Test de rangs signés de Wilcoxon . Cette calculatrice de test t par paires traite de la moyenne et de l'écart-type des paires.

Autres applications du test t

Il arrive souvent que deux échantillons ne soient pas appariés test t pour deux échantillons indépendants Calculatrice . Notez que dans ce cas, les échantillons ne doivent pas nécessairement avoir la même taille.