Plus cette calculatrice de transposition matricielle avec étapes

Souvent, l'idée de transposition matricielle est présentée dans des contextes différents. Comme nous l'avons souvent vu, les matrices sont très utiles à résolution de systèmes linéaires , où les coefficients de l'équation sont représentés par les lignes.

Dans certains cas, il peut être utile de considérer les coefficients représentés par les colonnes, pour lesquels la matrice transposée est utile.

Comment trouvez-vous la transposée de la matrice?

Comme d'habitude en mathématiques, il y aura un moyen de définir la transposition à l'aide de symboles. Essayons d'abord. Considérez \(A\) et une matrice donnée, de taille \(m \times n\) (donc, elle a des lignes \(m\) et des colonnes \(n\)).

La matrice transposée \(A^T\) sera une matrice \(n \times m\) (avec \(n\) lignes et \(n\) colonnes), définie comme suit :

\[ A^{T}_{ij} = A_{ji} \]

Ainsi, l'élément qui se trouve dans la coordonnée \((i, j)\) de \(A^T\) (c'est-à-dire la ligne i, la colonne j) est le même que l'élément de \(A\) qui se trouve dans la coordonnée \((j, i)\).

En fin de compte, c'est une manière fantaisiste de dire que les lignes de \(A^T\) sont construites en utilisant les colonnes de \(A\). Clair et simple.

C'est donc super simple, et vous devez suivre ces étapes :

1. Établissez la matrice A que vous voulez transposer
2. Identifier les colonnes de la matrice A
3. Formez la matrice de transposition en utilisant comme lignes ce que vous avez identifié comme les colonnes de A

La procédure pour trouver la transposée de la matrice

Ce que nous avons trouvé ci-dessus nous donne une procédure pour trouver facilement la transposée d'une matrice.

Étape 1: Identifiez et répertoriez les colonnes de la matrice donnée, et répertoriez-les.

Étape 2: Utilisez les colonnes que vous avez trouvées à l'étape 1 comme lignes d'une nouvelle matrice. Cette nouvelle matrice est votre \(A^T\). Fait.

Quelle est la transposée d'une matrice 2x4 ?

Pour aller plus loin, la transposition d'une matrice 2x4 est une matrice 4x2. Vous devez obtenir les 4 colonnes de la matrice 2x4 d'origine et les utiliser pour les définir en tant que lignes dans le 4x2 transposé

Que sont les matrices symétriques ?

L'idée de symétrie des matrices est fortement liée à la transposition des matrices. En effet, on dit qu'une matrice \(A\) est symétrique lorsque \(A^T = A\).

Ainsi donc, les matrices symétriques sont celles qui restent inchangées après les avoir transposées. Donc une façon de évaluer si une matrice est symétrique ou non est en calculant sa transposition et en la comparant à la matrice d'origine.

La transposition est la seule opération que vous puissiez faire sur les matrices ?

Absolument pas! Les matrices sont des objets polyvalents et, tout comme les nombres, vous pouvez ajouter des matrices , soustraire et multiplier les matrices , et même dans certains cas, vous pouvez diviser des matrices (à condition qu'elles soient inversibles).

Exemple de transposition de matrice

Question: Considérez la matrice suivante

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} \]

Calculer la matrice transposée associée \(A^t\).

Solution: Notez que la taille de la matrice donnée est \(3 \times 3\), donc la taille de la matrice transposée est \(3 \times 3\)

La transposée d'une matrice \(A\), que nous appelons \(A^T\), est formellement définie composante par composante, comme le montre l'utilisation de la formule

\[ A^{T}_{ij} = A_{ji}\]

En d'autres termes, l'élément qui se trouve dans la i-ème ligne et la j-ème colonne de la matrice de transposition est le même que l'élément qui se trouve dans la j-ème ligne et la i-ème colonne de la matrice d'origine < >.

Par conséquent, la ième colonne de la matrice « XYZA » donnée correspond à la ième ligne de la matrice transposée. Donc pour calculer la transposée d'une matrice \(A\), on prend juste ses colonnes et on en fait les lignes de la matrice transposée. Donc on obtient :

\[ A^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{bmatrix} \]

ce qui conclut le calcul de la transposée \(A^T\).

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