Una prueba de hipótesis es un procedimiento en el que se prueba una afirmación sobre un determinado parámetro de población. Un parámetro de población es una constante numérica que representa o caracteriza una distribución. Por lo general, una prueba de hipótesis se trata de una media de población, normalmente anotada como \(\mu\), pero en realidad puede tratarse de cualquier parámetro de población, como una proporción de población \(p\), o una desviación estándar de población \(\sigma\).

En este caso, vamos a analizar el caso de una prueba de hipótesis que involucra una desviación estándar poblacional \(\sigma\). Como con cualquier tipo de prueba de hipótesis , se requieren datos de muestra para probar una afirmación sobre \(\sigma\). Observe que a veces la afirmación involucra la varianza de la población \({{\sigma }^{2}}\), pero es esencialmente lo mismo porque, por ejemplo, hacer la afirmación sobre la varianza de la población de que \({{\sigma }^{2}}=16\) es absolutamente equivalente a hacer la afirmación \(\sigma =4\) sobre la desviación estándar de la población. Por lo tanto, siempre tenga en cuenta que hacer una afirmación sobre la varianza de la población siempre ha emparejado una afirmación sobre la desviación estándar de la población, y viceversa.

Los procedimientos para determinar las hipótesis nula y alternativa y el tipo de cola para la prueba se aplican de todos modos, los pasos utilizados para probar una afirmación sobre la media poblacional (es decir, declaramos las afirmaciones dadas en forma matemática y examinamos el tipo de señal involucrada).

EJEMPLO

Suponga que un funcionario del Tesoro afirma que los centavos posteriores a 1983 tienen pesos con una desviación estándar superior a 0,0230 g. Suponga que se recolecta una muestra aleatoria simple de n = 25 centavos anteriores a 1983 y que la muestra tiene una desviación estándar de 0.03910 g. Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar la afirmación de que las monedas de un centavo anteriores a 1983 tienen pesos con una desviación estándar superior a 0.0230 g. Con base en estos resultados de muestra, ¿parece que los pesos de los centavos anteriores a 1983 varían más que los de los centavos posteriores a 1983?

¿CÓMO RESOLVEMOS ESTO?

Tenemos que probar

\[\begin{aligned}{H}_{0}: \sigma \le {0.0230} \\ {{H}_{A}}: \sigma > {0.0230} \\ \end{aligned}\]

El valor de las estadísticas de Chi cuadrado se calcula como

\[{{\chi }^{2}}=\frac{\left( n-1 \right){{s}^{2}}}{{{\sigma }^{2}}}=\frac{\left( 25-1 \right)\times {0.03910^2}}{0.0230^2}= {69.36}\]

El valor crítico superior para \(\alpha = 0.05\) y df = 24 es

\[\chi _{upper}^{2}= {36.415}\]

lo que significa que rechazamos la hipótesis nula.

Esto significa que tenemos suficiente evidencia para respaldar la afirmación de que los pesos de los centavos anteriores a 1983 varían más que los de los centavos posteriores a 1983, al nivel de significancia de 0.05.