Experimentos multinomiales
Ejemplos de problemas de experimentos multinomiales
Pregunta 1: Al gerente de un supermercado Farmer Jack le gustaría saber si existe una preferencia por el día de la semana en el que los clientes hacen sus compras. Una muestra de 420 familias reveló lo siguiente. En el nivel de significancia de 0.05, ¿hay alguna diferencia en la proporción de clientes que prefieren cada día de la semana? Prueba de chi-cuadrado. Bondad de ajuste Igualdad de frecuencias esperadas.
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Día de la semana |
Número de personas |
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Monday
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20
|
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Tuesday
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30
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Wednesday
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20
|
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Thursday
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60
|
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Friday
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80
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Saturday
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130
|
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Sunday
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80
|
Solución: Debe probarse la siguiente hipótesis nula:
\[H_0:\,p_{1} = {1/7},\,\,\, p_{2} = {1/7},\,\,\, p_{3} = {1/7},\,\,\, p_{4} = {1/7},\,\,\, p_{5} = {1/7},\,\,\, p_{6} = {1/7},\,\,\, p_{7} = {1/7}\]
La primera tarea es construir la tabla con los valores esperados. Con base en los datos proporcionados, encontramos:
|
Categoría |
Observado |
Esperado |
(fo - fe) ² / fe |
|
lunes |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26.6667 |
|
martes |
30 |
420 * 1/7 = 60 |
15 |
|
miércoles |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26.6667 |
|
jueves |
60 |
420 * 1/7 = 60 |
0 |
|
viernes |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6.6667 |
|
sábado |
130 |
420 * 1/7 = 60 |
81.6667 |
|
domingo |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6.6667 |
|
Suma = |
163.3333 |
Esto significa que las estadísticas de chi-cuadrado se calculan como
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={26.6667} + {15} + {26.6667} + {0} + {6.6667} + {81.6667} + {6.6667}=163.3333\]
El valor crítico para \(\alpha =0.05\) y \(df = 6\) viene dado por
\[\chi _{C}^{2}= {12.5916}\]
y el valor p correspondiente es
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {163.3333} \right) = {0.000}\]
Dado que el valor p es menor que el nivel de significancia \(\alpha = {0.05}\), entonces rechazamos \({{H}_{0}}\). Esto significa que tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula de proporciones iguales, al nivel de significancia de 0.05.
Pregunta 2: Las investigaciones han demostrado que las personas tienden a sentirse atraídas por otras personas que son similares a ellas. Un estudio demostró que es desproporcionadamente más probable que las personas se casen con personas con apellidos que comienzan con la misma última letra que la suya (Jones, Pelham, Carvallo y Mirenberg, 2004). Los investigadores empezaron mirando los registros de matrimonio y registrando el apellido de cada novio y el apellido de soltera de cada novia. A partir de estos registros, es posible calcular la probabilidad de emparejar aleatoriamente a una novia y un novio cuyos apellidos comienzan con la misma letra. Suponga que esta probabilidad es solo del 6,5%. A continuación, se selecciona una muestra de n 200 parejas casadas y se cuenta el número que compartía la misma última inicial en el momento de casarse. Las frecuencias observadas resultantes son las siguientes:
¿Indican estas fechas que el número de parejas con la misma última inicial es significativamente diferente de lo que se esperaría si las parejas fueran emparejadas al azar? Pruebe con a = .05.
Solución: Debe probarse la siguiente hipótesis nula:
\[H_0:\,p_{1} = {0.065},\,\,\, p_{2} = {0.935}\]
La primera tarea es construir la tabla con los valores esperados. Con base en los datos proporcionados, encontramos:
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Categoría |
Observado |
Esperado |
(fo - fe) ² / fe |
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Misma inicial |
19 |
200 * 0.065 = 13 |
2.7692 |
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Diferentes iniciales |
181 |
200 * 0,935 = 187 |
0.1925 |
|
Suma = |
2.9617 |
Usando esa información, obtenemos
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={2.7692} + {0.1925}=2.9617\]
El valor crítico para \(\alpha =0.05\) y \(df = 1\) viene dado por
\[\chi _{C}^{2}= {3.8415}\]
y el valor p correspondiente es
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {2.9617} \right) = {0.0853}\]
Dado que el valor p es mayor que el nivel de significancia \(\alpha = {0.05}\), no rechazamos \({{H}_{0}}\). Esto significa que no tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula de las proporciones dadas, al nivel de significancia de 0.05.