En este tutorial, cubriremos el tema de Pruebas no paramétricas . Vea a continuación una lista de ejemplos de problemas relevantes, con soluciones paso a paso.
Pregunta 1: Un investigador médico cree que el número de infecciones de oído en los nadadores se puede reducir si el los nadadores usan tapones para los oídos. Se seleccionó una muestra de diez personas y se registró el número de infecciones de oído durante un período de cuatro meses. Durante los dos primeros meses, los nadadores no utilizaron los tapones para los oídos; durante los segundos dos meses, lo hicieron. Al comienzo del segundo período de dos meses, se examinó a cada nadador para asegurar de que no hubiera habido infecciones presentes. Los datos se muestran a continuación. En \(\alpha = 0.05\), ¿puede el investigador concluir que el uso de tapones para los oídos afecta la cantidad de infecciones de oído?
Solución: Necesitamos probar las hipótesis
\[\begin{aligned} & {{H}_{0}}:\text{ ear infections are the same with or without the ear plugs} \\ &{{H}_{A}}:\text{ swimmers get less ear infections with ear plugs} \\ \end{aligned}\]
Usamos una prueba de signos. Usamos Statdisk para obtener el siguiente resultado:
La estadística \(x\) es igual a 2 (el número menos frecuente de signos). El valor crítico es 1. Dado que \(x\) no es menor o igual que el valor crítico, no rechazamos la hipótesis nula. Esto significa que no tenemos suficiente evidencia para respaldar la afirmación de que la cantidad de infecciones de oído en los nadadores se puede reducir si los nadadores usan tapones para los oídos.
Pregunta 2: Las investigaciones indican que las personas que se ofrecen como voluntarias para participar en estudios de investigación tienden a tener una inteligencia más alta que los no voluntarios. Para probar este fenómeno, un investigador obtiene una muestra de 200 estudiantes de secundaria. A los estudiantes se les da una descripción de un estudio de investigación psicológica y se les pregunta si se ofrecerían como voluntarios para participar. El investigador también obtiene un puntaje de CI para cada estudiante y clasifica a los estudiantes en grupos de CI alto, medio y bajo. ¿Los siguientes datos indican una relación significativa entre el coeficiente intelectual y el voluntariado? Prueba al nivel de significancia de 0.05.
Solución: La siguiente tabla muestra la tabla de contingencia correspondiente:
|
Observado |
Alto |
Medio |
Bajo |
Total |
|
Voluntario |
43 |
73 |
34 |
150 |
|
No voluntario |
7 |
27 |
dieciséis |
50 |
|
Total |
50 |
100 |
50 |
200 |
Estamos interesados en probar las siguientes hipótesis nulas y alternativas:
\[\begin{aligned}{{H}_{0}}:\,\,\, \text{Volunteer Status}\text{ and }\text {IQ}\text{ are independent} \\ {{H}_{A}}:\,\,\,\text{Volunteer Status}\text{ and }\text {IQ}\text{ are NOT independent} \\ \end{aligned}\]
De la tabla de arriba, calculamos la tabla con los valores esperados.
|
Esperado |
Alto |
Medio |
Bajo |
|
Voluntario |
37,5 |
75 |
37,5 |
|
No voluntario |
12,5 |
25 |
12,5 |
La forma en que se calculan las frecuencias esperadas se muestra a continuación:
\[{E}_{{1},{1}}= \frac{ {R}_{1} \times {C}_{1} }{T}= \frac{{150} \times {50}}{{200}}={37.5},\,\,\,\, {E}_{{1},{2}}= \frac{ {R}_{1} \times {C}_{2} }{T}= \frac{{150} \times {100}}{{200}}={75},\,\,\,\, {E}_{{1},{3}}= \frac{ {R}_{1} \times {C}_{3} }{T}= \frac{{150} \times {50}}{{200}}={37.5}\]
\[,\,\,\,\, {E}_{{2},{1}}= \frac{ {R}_{2} \times {C}_{1} }{T}= \frac{{50} \times {50}}{{200}}={12.5},\,\,\,\, {E}_{{2},{2}}= \frac{ {R}_{2} \times {C}_{2} }{T}= \frac{{50} \times {100}}{{200}}={25},\,\,\,\, {E}_{{2},{3}}= \frac{ {R}_{2} \times {C}_{3} }{T}= \frac{{50} \times {50}}{{200}}={12.5}\]
Finalmente, usamos la fórmula \(\frac{{{\left( O-E \right)}^{2}}}{E}\) para obtener
|
(fo - fe) ² / fe |
Alto |
Medio |
Bajo |
|
Voluntario |
0,8067 |
0.0533 |
0.3267 |
|
No voluntario |
2,42 |
0,16 |
0,98 |
Los cálculos necesarios se muestran a continuación:
\[\frac{ {\left( {43}-{37.5} \right)}^{2} }{{37.5}} ={0.8067},\,\,\,\, \frac{ {\left( {73}-{75} \right)}^{2} }{{75}} ={0.0533},\,\,\,\, \frac{ {\left( {34}-{37.5} \right)}^{2} }{{37.5}} ={0.3267},\,\,\,\, \frac{ {\left( {7}-{12.5} \right)}^{2} }{{12.5}} ={2.42}\]
\[,\,\,\,\, \frac{ {\left( {27}-{25} \right)}^{2} }{{25}} ={0.16},\,\,\,\, \frac{ {\left( {16}-{12.5} \right)}^{2} }{{12.5}} ={0.98}\]
Por lo tanto, el valor de las estadísticas de chi-cuadrado es
\[{{\chi }^{2}}=\sum{\frac{{{\left( {{O}_{ij}}-{{E}_{ij}} \right)}^{2}}}{{{E}_{ij}}}}={0.8067} + {0.0533} + {0.3267} + {2.42} + {0.16} + {0.98} = 4.747\]
El valor crítico de chi-cuadrado para \(\alpha =0.05\) y \(\left( 3-1 \right)\times \left( 2-1 \right)=2\) grados de libertad es \(\chi _{C}^{2}= {5.991}\). Dado que \({{\chi }^{2}}=\sum{\frac{{{\left( {{O}_{ij}}-{{E}_{ij}} \right)}^{2}}}{{{E}_{ij}}}}= {4.747}\) <\(\chi _{C}^{2}= {5.991}\), no podemos rechazar la hipótesis nula, lo que significa que no tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula de independencia.
Pregunta 3: A continuación se enumeran los años que vivieron los presidentes de los Estados Unidos, los papas desde 1690 y los monarcas británicos después de su investidura, elección o coronación. Al momento de escribir este artículo, el último presidente es Gerald Ford y el último Papa es Juan Pablo II. Los tiempos se basan en datos de Análisis de datos interactivos por computadora, de Lunn y McNeil, John Wiley & Son. Use un nivel de significancia de 0.05 para probar la afirmación de que las 2 muestras de datos de longevidad de papas y monarcas provienen de poblaciones con la misma mediana.
Presidentes
10 29 26 28 15 23 17 25 0 20 4 1 24 16 12 4 10 17 16 0 7 24 12 4
18 21 11 2 9 36 12 28 3 16 9 25 23 32
Papas
2 9 21 3 6 10 18 11 6 25 23 6 2 15 32 25 11 8 17 19 5 15 0 26
Monarcas 17 6 13 12 13 33 59 10 7 63 9 25 36 15
Solución: Necesitamos usar una prueba de Wilcoxon para evaluar la afirmación de que las 2 muestras provienen de poblaciones con la misma mediana. Se obtienen los siguientes resultados:
|
Prueba de Wilcoxon - Mann / Whitney |
||||
|
norte |
suma de rangos |
|||
|
24 |
416 |
Papas |
||
|
14 |
325 |
Monarcas |
||
|
38 |
741 |
total |
||
|
468,00 |
valor esperado |
|||
|
33,00 |
Desviación Estándar |
|||
|
-1,56 |
z, corregido por empates |
|||
|
.1186 |
valor p (dos colas) |
|||
|
No. |
Etiqueta |
Datos |
Rango |
|
|
1 |
Papas |
2 |
2.5 |
|
|
2 |
Papas |
9 |
12,5 |
|
|
3 |
Papas |
21 |
28 |
|
|
4 |
Papas |
3 |
4 |
|
|
5 |
Papas |
6 |
7.5 |
|
|
6 |
Papas |
10 |
14,5 |
|
|
7 |
Papas |
18 |
26 |
|
|
8 |
Papas |
11 |
16,5 |
|
|
9 |
Papas |
6 |
7.5 |
|
|
10 |
Papas |
25 |
31 |
|
|
11 |
Papas |
23 |
29 |
|
|
12 |
Papas |
6 |
7.5 |
|
|
13 |
Papas |
2 |
2.5 |
|
|
14 |
Papas |
15 |
22 |
|
|
15 |
Papas |
32 |
34 |
|
|
dieciséis |
Papas |
25 |
31 |
|
|
17 |
Papas |
11 |
16,5 |
|
|
18 |
Papas |
8 |
11 |
|
|
19 |
Papas |
17 |
24,5 |
|
|
20 |
Papas |
19 |
27 |
|
|
21 |
Papas |
5 |
5 |
|
|
22 |
Papas |
15 |
22 |
|
|
23 |
Papas |
0 |
1 |
|
|
24 |
Papas |
26 |
33 |
|
|
25 |
Monarcas |
17 |
24,5 |
|
|
26 |
Monarcas |
6 |
7.5 |
|
|
27 |
Monarcas |
13 |
19,5 |
|
|
28 |
Monarcas |
12 |
18 |
|
|
29 |
Monarcas |
13 |
19,5 |
|
|
30 |
Monarcas |
33 |
35 |
|
|
31 |
Monarcas |
59 |
37 |
|
|
32 |
Monarcas |
10 |
14,5 |
|
|
33 |
Monarcas |
7 |
10 |
|
|
34 |
Monarcas |
63 |
38 |
|
|
35 |
Monarcas |
9 |
12,5 |
|
|
36 |
Monarcas |
25 |
31 |
|
|
37 |
Monarcas |
36 |
36 |
|
|
38 |
Monarcas |
15 |
22 |
|
Como estamos comparando dos grupos independientes (Papas y Monarcas), podemos usar Prueba de suma de rangos de Wilcoxon.
los hipótesis nula probado es
H0: Las dos muestras provienen de poblaciones con la misma mediana.
los hipótesis alternativa es
H1: Las dos muestras son de poblaciones con la mediana diferente.
Nivel de significancia = 0.05
Estadística de prueba: Los valores observados de los resultados de la muestra combinada se ordenan de menor a mayor. Una vez obtenidas las clasificaciones, las muestras se separan y se calcula la suma de las clasificaciones para cada una.
los Estadística de prueba usado es
\[Z=\frac{{{T}_{A}}-\frac{{{n}_{2}}\left( {{n}_{1}}+{{n}_{2}}+1 \right)}{2}}{\sqrt{\frac{{{n}_{1}}{{n}_{2}}\left( {{n}_{1}}+{{n}_{2}}+1 \right)}{12}}}\]
,
donde T UN es la suma de los rangos de la muestra más pequeña. Aquí n 1 = 24, n 2 = 14, T UN = 416.
Therefore,\[Z=\frac{416-\frac{24\left( 14+24+1 \right)}{2}}{\sqrt{\frac{14*24\left( 14+24+1 \right)}{12}}}=-1.57\]
Criterios de rechazo: Rechace la hipótesis nula, si el valor absoluto del estadístico de prueba es mayor que el valor crítico al nivel de significancia 0.05.
Valor crítico inferior = -1,96
Valor crítico superior = 1,96
Conclusión: No rechaza la hipótesis nula, ya que el valor absoluto del estadístico de prueba es menor que el valor crítico. La muestra no proporciona suficiente evidencia para rechazar la afirmación de que las dos muestras provienen de poblaciones con la misma mediana.
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