Estadísticas no paramétricas, o qué hacer cuando fallan los supuestos de una prueba paramétrica


Pregunta 1: Un investigador médico cree que el número de infecciones de oído en los nadadores se puede reducir si el los nadadores usan tapones para los oídos. Se seleccionó una muestra de diez personas y se registró el número de infecciones de oído durante un período de cuatro meses. Durante los dos primeros meses, los nadadores no utilizaron los tapones para los oídos; durante los segundos dos meses, lo hicieron. Al comienzo del segundo período de dos meses, se examinó a cada nadador para asegurar de que no hubiera habido infecciones presentes. Los datos se muestran a continuación. En \(\alpha = 0.05\), ¿puede el investigador concluir que el uso de tapones para los oídos afecta la cantidad de infecciones de oído?

Solución: Necesitamos probar las hipótesis

\[\begin{aligned} & {{H}_{0}}:\text{ ear infections are the same with or without the ear plugs} \\ &{{H}_{A}}:\text{ swimmers get less ear infections with ear plugs} \\ \end{aligned}\]

Usamos una prueba de signos. Usamos Statdisk para obtener el siguiente resultado:

La estadística \(x\) es igual a 2 (el número menos frecuente de signos). El valor crítico es 1. Dado que \(x\) no es menor o igual que el valor crítico, no rechazamos la hipótesis nula. Esto significa que no tenemos suficiente evidencia para respaldar la afirmación de que la cantidad de infecciones de oído en los nadadores se puede reducir si los nadadores usan tapones para los oídos.



Pregunta 2: Las investigaciones indican que las personas que se ofrecen como voluntarias para participar en estudios de investigación tienden a tener una inteligencia más alta que los no voluntarios. Para probar este fenómeno, un investigador obtiene una muestra de 200 estudiantes de secundaria. A los estudiantes se les da una descripción de un estudio de investigación psicológica y se les pregunta si se ofrecerían como voluntarios para participar. El investigador también obtiene un puntaje de CI para cada estudiante y clasifica a los estudiantes en grupos de CI alto, medio y bajo. ¿Los siguientes datos indican una relación significativa entre el coeficiente intelectual y el voluntariado? Prueba al nivel de significancia de 0.05.

Solución: La siguiente tabla muestra la tabla de contingencia correspondiente:

Observado

Alto

Medio

Bajo

Total

Voluntario

43

73

34

150

No voluntario

7

27

dieciséis

50

Total

50

100

50

200


Estamos interesados ​​en probar las siguientes hipótesis nulas y alternativas:

\[\begin{aligned}{{H}_{0}}:\,\,\, \text{Volunteer Status}\text{ and }\text {IQ}\text{ are independent} \\ {{H}_{A}}:\,\,\,\text{Volunteer Status}\text{ and }\text {IQ}\text{ are NOT independent} \\ \end{aligned}\]

De la tabla de arriba, calculamos la tabla con los valores esperados.

Esperado

Alto

Medio

Bajo

Voluntario

37,5

75

37,5

No voluntario

12,5

25

12,5


La forma en que se calculan las frecuencias esperadas se muestra a continuación:

\[{E}_{{1},{1}}= \frac{ {R}_{1} \times {C}_{1} }{T}= \frac{{150} \times {50}}{{200}}={37.5},\,\,\,\, {E}_{{1},{2}}= \frac{ {R}_{1} \times {C}_{2} }{T}= \frac{{150} \times {100}}{{200}}={75},\,\,\,\, {E}_{{1},{3}}= \frac{ {R}_{1} \times {C}_{3} }{T}= \frac{{150} \times {50}}{{200}}={37.5}\]

\[,\,\,\,\, {E}_{{2},{1}}= \frac{ {R}_{2} \times {C}_{1} }{T}= \frac{{50} \times {50}}{{200}}={12.5},\,\,\,\, {E}_{{2},{2}}= \frac{ {R}_{2} \times {C}_{2} }{T}= \frac{{50} \times {100}}{{200}}={25},\,\,\,\, {E}_{{2},{3}}= \frac{ {R}_{2} \times {C}_{3} }{T}= \frac{{50} \times {50}}{{200}}={12.5}\]

Finalmente, usamos la fórmula \(\frac{{{\left( O-E \right)}^{2}}}{E}\) para obtener

(fo - fe) ² / fe

Alto

Medio

Bajo

Voluntario

0,8067

0.0533

0.3267

No voluntario

2,42

0,16

0,98


Los cálculos necesarios se muestran a continuación:

\[\frac{ {\left( {43}-{37.5} \right)}^{2} }{{37.5}} ={0.8067},\,\,\,\, \frac{ {\left( {73}-{75} \right)}^{2} }{{75}} ={0.0533},\,\,\,\, \frac{ {\left( {34}-{37.5} \right)}^{2} }{{37.5}} ={0.3267},\,\,\,\, \frac{ {\left( {7}-{12.5} \right)}^{2} }{{12.5}} ={2.42}\]

\[,\,\,\,\, \frac{ {\left( {27}-{25} \right)}^{2} }{{25}} ={0.16},\,\,\,\, \frac{ {\left( {16}-{12.5} \right)}^{2} }{{12.5}} ={0.98}\]

Por lo tanto, el valor de las estadísticas de chi-cuadrado es

\[{{\chi }^{2}}=\sum{\frac{{{\left( {{O}_{ij}}-{{E}_{ij}} \right)}^{2}}}{{{E}_{ij}}}}={0.8067} + {0.0533} + {0.3267} + {2.42} + {0.16} + {0.98} = 4.747\]

El valor crítico de chi-cuadrado para \(\alpha =0.05\) y \(\left( 3-1 \right)\times \left( 2-1 \right)=2\) grados de libertad es \(\chi _{C}^{2}= {5.991}\). Dado que \({{\chi }^{2}}=\sum{\frac{{{\left( {{O}_{ij}}-{{E}_{ij}} \right)}^{2}}}{{{E}_{ij}}}}= {4.747}\) <\(\chi _{C}^{2}= {5.991}\), no podemos rechazar la hipótesis nula, lo que significa que no tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula de independencia.



Pregunta 3: A continuación se enumeran los años que vivieron los presidentes de los Estados Unidos, los papas desde 1690 y los monarcas británicos después de su investidura, elección o coronación. Al momento de escribir este artículo, el último presidente es Gerald Ford y el último Papa es Juan Pablo II. Los tiempos se basan en datos de Análisis de datos interactivos por computadora, de Lunn y McNeil, John Wiley & Son. Use un nivel de significancia de 0.05 para probar la afirmación de que las 2 muestras de datos de longevidad de papas y monarcas provienen de poblaciones con la misma mediana.

Presidentes

10 29 26 28 15 23 17 25 0 20 4 1 24 16 12 4 10 17 16 0 7 24 12 4

18 21 11 2 9 36 12 28 3 16 9 25 23 32

Papas

2 9 21 3 6 10 18 11 6 25 23 6 2 15 32 25 11 8 17 19 5 15 0 26

Monarcas 17 6 ​​13 12 13 33 59 10 7 63 9 25 36 15

Solución: Necesitamos usar una prueba de Wilcoxon para evaluar la afirmación de que las 2 muestras provienen de poblaciones con la misma mediana. Se obtienen los siguientes resultados:

Prueba de Wilcoxon - Mann / Whitney

norte

suma de rangos

24

416

Papas

14

325

Monarcas

38

741

total

468,00

valor esperado

33,00

Desviación Estándar

-1,56

z, corregido por empates

.1186

valor p (dos colas)

No.

Etiqueta

Datos

Rango

1

Papas

2

2.5

2

Papas

9

12,5

3

Papas

21

28

4

Papas

3

4

5

Papas

6

7.5

6

Papas

10

14,5

7

Papas

18

26

8

Papas

11

16,5

9

Papas

6

7.5

10

Papas

25

31

11

Papas

23

29

12

Papas

6

7.5

13

Papas

2

2.5

14

Papas

15

22

15

Papas

32

34

dieciséis

Papas

25

31

17

Papas

11

16,5

18

Papas

8

11

19

Papas

17

24,5

20

Papas

19

27

21

Papas

5

5

22

Papas

15

22

23

Papas

0

1

24

Papas

26

33

25

Monarcas

17

24,5

26

Monarcas

6

7.5

27

Monarcas

13

19,5

28

Monarcas

12

18

29

Monarcas

13

19,5

30

Monarcas

33

35

31

Monarcas

59

37

32

Monarcas

10

14,5

33

Monarcas

7

10

34

Monarcas

63

38

35

Monarcas

9

12,5

36

Monarcas

25

31

37

Monarcas

36

36

38

Monarcas

15

22


Como estamos comparando dos grupos independientes (Papas y Monarcas), podemos usar Prueba de suma de rangos de Wilcoxon.

los hipótesis nula probado es

H0: Las dos muestras provienen de poblaciones con la misma mediana.

los hipótesis alternativa es

H1: Las dos muestras son de poblaciones con la mediana diferente.

Nivel de significancia = 0.05

Estadística de prueba: Los valores observados de los resultados de la muestra combinada se ordenan de menor a mayor. Una vez obtenidas las clasificaciones, las muestras se separan y se calcula la suma de las clasificaciones para cada una.

los Estadística de prueba usado es

\[Z=\frac{{{T}_{A}}-\frac{{{n}_{2}}\left( {{n}_{1}}+{{n}_{2}}+1 \right)}{2}}{\sqrt{\frac{{{n}_{1}}{{n}_{2}}\left( {{n}_{1}}+{{n}_{2}}+1 \right)}{12}}}\]

,

donde T UN es la suma de los rangos de la muestra más pequeña. Aquí n 1 = 24, n 2 = 14, T UN = 416.

Therefore,

\[Z=\frac{416-\frac{24\left( 14+24+1 \right)}{2}}{\sqrt{\frac{14*24\left( 14+24+1 \right)}{12}}}=-1.57\]

Criterios de rechazo: Rechace la hipótesis nula, si el valor absoluto del estadístico de prueba es mayor que el valor crítico al nivel de significancia 0.05.

Valor crítico inferior = -1,96

Valor crítico superior = 1,96

Conclusión: No rechaza la hipótesis nula, ya que el valor absoluto del estadístico de prueba es menor que el valor crítico. La muestra no proporciona suficiente evidencia para rechazar la afirmación de que las dos muestras provienen de poblaciones con la misma mediana.

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