Pregunta 1: Se está evaluando la duración de un tipo de batería de litio. El gerente de producción seleccionó una muestra aleatoria de 10 baterías y registró las siguientes vidas útiles en años: {3.25, 4.0, 3.1, 3.7, 3.5, 4.2, 4.75, 2.3, 5.5, 3.7}. Responda lo siguiente asumiendo que la población es normal.

a. ¿Cuál es la media de la muestra?

segundo. ¿Cuál es la desviación estándar de la muestra?

C. Explique cómo se relaciona la media muestral con la media poblacional.

re. Suponiendo que no conoce la desviación estándar de la población, construya una

Intervalo de confianza del 90% para \(mu\).

mi. Suponga que sabe que la desviación estándar de la población es \(\sigma\) = 0,7; Construya un intervalo de confianza del 90% para \(\sigma\). (Mostrar fórmula o comando de calculadora)

F. Interprete el intervalo de confianza del inciso e.

Solución: (a) Se proporciona la siguiente tabla

La media muestral es 3.8

(b) La desviación estándar de la muestra es 0.891.

(c) La media muestral es la estimación puntual de la media poblacional.

(d) La desviación estándar de la población se desconoce, por lo que vamos a utilizar las estadísticas t. El intervalo de confianza del 90% viene dado por

\[CI=\left( \bar{X}-{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)\]

En este caso, tenemos \({{t}_{\alpha /2}}\) es el valor t-crítico de dos colas, para \(\alpha =0.10\) y \(n-1 = 9\) grados de libertad. Por tanto, obtenemos que

\[CI=\left( {3.8}-1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.2835},\,\,{4.3165} \right)\]

La interpretación es que tenemos un 90% de confianza en que la media poblacional real \(\mu\) está contenida en el intervalo \(\left( {3.2835},\,\text{ }{4.3165} \right)\).

(d) La desviación estándar de la población está disponible para, por lo que se puede usar la distribución normal. Por tanto, obtenemos que el intervalo de confianza del 90% se da

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]

donde \({{z}_{\alpha /2}}\) corresponde al valor crítico z de dos colas para \(\alpha =0.10\). Por lo tanto, encontramos que

\[CI=\left( {3.8}-{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.4359},\,\,{4.1641} \right)\]

(e) La interpretación es que tenemos un 90% de confianza en que la media poblacional real \(\mu\) está contenida en el intervalo (3.4359, 4.1641).

Pregunta 2: Una muestra aleatoria de 56 bombillas fluorescentes tiene una vida media de 645 horas con una desviación estándar de 31 horas. Construya un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

Solución: El intervalo de confianza del 95% para la media poblacional viene dado por

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\text{ }\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)=\left( 645-1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}},\text{ }645+1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}} \right)\]

\[=\left( 636.8806,\text{ }653.1194 \right)\]

Pregunta 3: Se debe extraer una muestra aleatoria simple de una población de 1200. Para tener un 90% de confianza en que el error muestral al estimar \(p\) no es mayor de 0.03, ¿qué tamaño de muestra será necesario?

Solución: El intervalo de confianza del 90% viene dado por

\[CI=\left( \hat{p}-{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\text{ }\hat{p}+{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)\]

donde \({{z}_{\alpha /2}}=1.645\). Por tanto, el margen de error es

\[MOE=1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

Queremos que el margen de error no sea superior a 0,03. Esto significa que

\[1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.03\Leftrightarrow \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.018237\]

\[\Leftrightarrow \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\le 0.000332591\Leftrightarrow n\ge \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{0.000332591}\]

Pero \(\hat{p}\) toma valores entre 0 y 1, por lo que el valor máximo de \(\hat{p}(1-\hat{p})\) se logra cuando \(\hat{p}=\frac{1}{2}\). Por lo tanto, la condición que debemos satisfacer es

\[n\ge \frac{1}{4}\times \frac{1}{0.000332591}=751.674\]

Esto significa que el tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=752\).