Calculadora de vida media
Instrucciones: Utilice esta calculadora de vida media paso a paso para encontrar la vida media de una función que tiene una disminución exponencial. Debe especificar los parámetros de la función de disminución exponencial o proporcionar dos puntos \((t_1, y_1)\) y \((t_2, y_2)\) por donde pasa la función.
Considere la función
\[f(t) = A_0 b^{-kt}\]Más sobre esta calculadora Half Life
La idea detrás del concepto de vida media es averiguar cuánto tiempo tarda una función en disminuir su valor a la mitad.
Este concepto está fuertemente motivado por desintegración radioactiva , en el que el material radiactivo decae exponencialmente, y existe la propiedad de que para cada material radiactivo específico, su contenido se reduce a la mitad cada cierto número de años. El período de tiempo es la vida media.
En general, si consideramos una función de disminución exponencial:
\[f(t) = A_0 b^{-kt}\]queremos poder ver que \(f(0) = A_0\), y queremos encontrar \(h\) para que \(f(h) = A_0/2\). Con ese fin, notamos que
\[\displaystyle \frac{A_0}{2}= f(h) = A_0 b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2} = \ln\left(b^{-kh}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -kh \ln b\]\ \[\Rightarrow \displaystyle h = \frac{\ln 2}{k\ln b}\]¿Qué pasa si tienes que encontrar la función exponencial de dos puntos por los que pasa?
En ese caso, necesitaríamos resolver:
\[y_1 = A_0 b^{-kt_1}\] \[y_2 = A_0 b^{-kt_2}\]y para resolver \(A\) y \(k\), y luego aplicar directamente la fórmula anterior para encontrar la vida media \(h\).
¿Cómo se calcula la vida media?
La vida media se calcula hallando algebraicamente cuánto tiempo tarda una función en disminuir a la mitad, como se mostró en la sección anterior. Para la mayoría de las funciones, la cantidad de tiempo necesaria para que la función disminuya a la mitad depende del punto de partida.
Pero para funciones con decaimiento exponencial, el tiempo que tarda la función en reducir su valor a la mitad es independiente del punto de partida.
¿Cómo se calcula la descomposición utilizando la vida media?
Naturalmente, la tasa de desintegración y una función de desintegración exponencial en sí están estrechamente relacionadas con la vida media. De hecho, suponga que se conoce la vida media \(h\) y que \(A_0\) es la cantidad inicial (en \(t = 0\)). Entonces, la función de disminución exponencial se puede escribir de la siguiente manera:
\[f(t) = A_0 \cdot 2^{-t/h}\]