Frage 1: Ein Lithiumbatterietyp wird auf seine Lebensdauer geprüft. Der Produktionsleiter wählte eine Zufallsstichprobe von 10 Batterien aus und zeichnete die folgenden Lebensdauern in Jahren auf: {3,25, 4,0, 3,1, 3,7, 3,5, 4,2, 4,75, 2,3, 5,5, 3,7}. Beantworten Sie die folgenden Fragen unter der Annahme, dass die Bevölkerung normal ist.

ein. Was bedeutet die Stichprobe?

b. Was ist die Standardabweichung der Stichprobe?

c. Erklären Sie, wie der Stichprobenmittelwert mit dem Populationsmittelwert zusammenhängt.

d. Angenommen, Sie kennen die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht, konstruieren Sie a

90% -Konfidenzintervall für \(mu\).

e. Angenommen, Sie wissen, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit \(\sigma\) = 0,7 ist. Erstellen Sie ein 90% -Konfidenzintervall für \(\sigma\). (Formel oder Taschenrechnerbefehl anzeigen)

f. Interpretieren Sie das Konfidenzintervall in Teil e.

Lösung: (a) Die folgende Tabelle wird bereitgestellt

Der Stichprobenmittelwert beträgt 3,8

(b) Die Standardabweichung der Stichprobe beträgt 0,891.

(c) Der Stichprobenmittelwert ist die Punktschätzung für den Populationsmittelwert.

(d) Die Populationsstandardabweichung ist unbekannt, daher werden wir die t-Statistik verwenden. Das 90% -Konfidenzintervall ist gegeben durch

\[CI=\left( \bar{X}-{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)\]

In diesem Fall ist \({{t}_{\alpha /2}}\) der zweiseitige t-kritische Wert für die Freiheitsgrade \(\alpha =0.10\) und \(n-1 = 9\). Deshalb erhalten wir das

\[CI=\left( {3.8}-1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.2835},\,\,{4.3165} \right)\]

Die Interpretation ist, dass wir zu 90% davon überzeugt sind, dass der tatsächliche Populationsmittelwert \(\mu\) im Intervall \(\left( {3.2835},\,\text{ }{4.3165} \right)\) enthalten ist.

(d) Die Populationsstandardabweichung steht zur Verfügung, damit die Normalverteilung verwendet werden kann. Daher erhalten wir, dass das 90% -Konfidenzintervall angegeben ist

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]

Dabei entspricht \({{z}_{\alpha /2}}\) dem zweiseitigen z-kritischen Wert für \(\alpha =0.10\). Deshalb finden wir das

\[CI=\left( {3.8}-{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.4359},\,\,{4.1641} \right)\]

(e) Die Interpretation ist, dass wir zu 90% davon überzeugt sind, dass der tatsächliche Populationsmittelwert \(\mu\) im Intervall (3.4359, 4.1641) enthalten ist.

Frage 2: Eine Zufallsstichprobe von 56 Leuchtstofflampen hat eine langsame von 645 Stunden mit einer Standardabweichung von 31 Stunden. Verwirklichung Sie ein 95% -Konfidenzintervall für die Bevölkerungszahl.

Lösung: Das 95% -Konfidenzintervall für den Bevölkerungsdurchschnitt ist gegeben durch

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\text{ }\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)=\left( 645-1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}},\text{ }645+1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}} \right)\]

\[=\left( 636.8806,\text{ }653.1194 \right)\]

Frage 3: Aus einer Population von 1200 Personen ist eine einfache Zufallsstichprobe zu ziehen. Um zu 90% sicher zu sein, dass der Stichprobenfehler bei der Schätzung von \(p\) nicht mehr als 0,03 beträgt, welche Stichprobengröße ist erforderlich?

Lösung: Das 90% -Konfidenzintervall ist gegeben durch

\[CI=\left( \hat{p}-{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\text{ }\hat{p}+{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)\]

wo \({{z}_{\alpha /2}}=1.645\). Daher beträgt die Fehlerquote

\[MOE=1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

Wir möchten, dass die Fehlerquote nicht mehr als 0,03 beträgt. Dies bedeutet, dass

\[1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.03\Leftrightarrow \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.018237\]

\[\Leftrightarrow \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\le 0.000332591\Leftrightarrow n\ge \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{0.000332591}\]

\(\hat{p}\) nimmt jedoch Werte zwischen 0 und 1 an, sodass der Maximalwert von \(\hat{p}(1-\hat{p})\) erreicht wird, wenn \(\hat{p}=\frac{1}{2}\). Daher ist die Bedingung, die wir erfüllen müssen,

\[n\ge \frac{1}{4}\times \frac{1}{0.000332591}=751.674\]

Dies bedeutet, dass die Stichprobengröße mindestens \(n=752\) betragen sollte.