Multinomiale Experimente
Beispiel für Probleme mit multinomialen Experimenten
Frage 1: Der Manager eines Farmer Jack Super Market möchte wissen, ob der Wochentag, an dem Kunden einkaufen, bevorzugt wird. Eine Stichprobe von 420 Familien ergab Folgendes. Gibt es bei einem Signifikanzniveau von 0,05 einen Unterschied im Anteil der Kunden, die jeden Wochentag bevorzugen? Chi-Quadrat-Test. Anpassungsgüte Gleiche erwartete Frequenzen.
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Wochentag |
Personenzahl |
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Monday
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20
|
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Tuesday
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30
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Wednesday
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20
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Thursday
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60
|
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Friday
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80
|
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Saturday
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130
|
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Sunday
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80
|
Lösung: Die folgende Nullhypothese muss getestet werden:
\[H_0:\,p_{1} = {1/7},\,\,\, p_{2} = {1/7},\,\,\, p_{3} = {1/7},\,\,\, p_{4} = {1/7},\,\,\, p_{5} = {1/7},\,\,\, p_{6} = {1/7},\,\,\, p_{7} = {1/7}\]
Die erste Aufgabe besteht darin, die Tabelle mit den erwarteten Werten zu erstellen. Basierend auf den bereitgestellten Daten finden wir:
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Kategorie |
Beobachtete |
Erwartet |
(fo - fe) ² / fe |
|
Montag |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26.6667 |
|
Dienstag |
30 |
420 * 1/7 = 60 |
fünfzehn |
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Mittwoch |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26.6667 |
|
Donnerstag |
60 |
420 * 1/7 = 60 |
0 |
|
Freitag |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6.6667 |
|
Samstag |
130 |
420 * 1/7 = 60 |
81,6667 |
|
Sonntag |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6.6667 |
|
Summe = |
163.3333 |
Dies bedeutet, dass die Chi-Quadrat-Statistik als berechnet wird
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={26.6667} + {15} + {26.6667} + {0} + {6.6667} + {81.6667} + {6.6667}=163.3333\]
Der kritische Wert für \(\alpha =0.05\) und \(df = 6\) ist gegeben durch
\[\chi _{C}^{2}= {12.5916}\]
und der entsprechende p-Wert ist
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {163.3333} \right) = {0.000}\]
Da der p-Wert kleiner als das Signifikanzniveau \(\alpha = {0.05}\) ist, lehnen wir \({{H}_{0}}\) ab. Dies bedeutet, dass wir genügend Beweise haben, um die Nullhypothese mit gleichen Anteilen auf dem Signifikanzniveau von 0,05 abzulehnen.
Frage 2: Untersuchungen haben gezeigt, dass Menschen dazu neigen, sich von anderen angezogen zu fühlen, die sich selbst ähnlich sind. Eine Studie hat gezeigt, dass Personen mit überproportionaler Wahrscheinlichkeit Personen mit Nachnamen heiraten, die mit demselben letzten Buchstaben wie ihr eigener beginnen (Jones, Pelham, Carvallo & Mirenberg, 2004). Die Forscher begannen damit, sich die Heiratsunterlagen anzusehen und den Nachnamen für jeden Bräutigam und den Mädchennamen jeder Braut aufzuzeichnen. Aus diesen Aufzeichnungen kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass eine Braut und ein Bräutigam, deren Nachnamen mit demselben Buchstaben beginnen, zufällig übereinstimmen. Angenommen, diese Wahrscheinlichkeit beträgt nur 6,5%. Als nächstes wird eine Stichprobe von n 200 verheirateten Paaren ausgewählt und die Anzahl gezählt, die zum Zeitpunkt ihrer Heirat dieselbe letzte Initiale geteilt haben. Die resultierenden beobachteten Frequenzen sind wie folgt:
Zeigen diese Daten an, dass die Anzahl der Paare mit derselben letzten Initiale erheblich unterschiedlich ist, was zu erwarten wäre, wenn Paare zufällig zusammengebracht würden? Test mit a = .05.
Lösung: Die folgende Nullhypothese muss getestet werden:
\[H_0:\,p_{1} = {0.065},\,\,\, p_{2} = {0.935}\]
Die erste Aufgabe besteht darin, die Tabelle mit den erwarteten Werten zu erstellen. Basierend auf den bereitgestellten Daten finden wir:
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Kategorie |
Beobachtete |
Erwartet |
(fo - fe) ² / fe |
|
Gleiche Initiale |
19 |
200 * 0,065 = 13 |
2,7692 |
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Verschiedene Initialen |
181 |
200 * 0,935 = 187 |
0,1925 |
|
Summe = |
2,9617 |
Mit diesen Informationen erhalten wir
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={2.7692} + {0.1925}=2.9617\]
Der kritische Wert für \(\alpha =0.05\) und \(df = 1\) ist gegeben durch
\[\chi _{C}^{2}= {3.8415}\]
und der entsprechende p-Wert ist
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {2.9617} \right) = {0.0853}\]
Da der p-Wert größer als das Signifikanzniveau \(\alpha = {0.05}\) ist, können wir \({{H}_{0}}\) nicht ablehnen. Dies bedeutet, dass wir nicht genügend Beweise haben, um die Nullhypothese der gegebenen Proportionen auf dem Signifikanzniveau von 0,05 abzulehnen.