Korrelationskoeffizient -Konfidenzintervall

Der Korrelationskoeffizient ist eine Statistik (die impliziert, dass sie aus Stichprobendaten berechnet wird), das ein numerisches Maß zur Quantifizierung der Stärke der linearen Assoziation zwischen zwei Variablen liefert.Die Korrelationswerte können per Definition zwischen -1 und 1 liegen.

Eine Korrelation in der Nähe von 1 legt die Existenz einer starken positiven linearen Assoziation zwischen den beiden Variablen nahe, und eine Korrelation nahe -1 deutet auf die Existenz einer starken negativen linearen Assoziation zwischen den beiden Variablen hin.Je näher der Korrelaton auf 1 (oder -1) liegt, desto stärker ist die lineare Assoziation.

Wie berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten?

Mathematisch, die Der Korrelationskoeffizient Wird Berechnet wie folgt:

\[r =\frac{n \sum_{i=1}^n x_i y_i - \left(\sum_{i=1}^n x_i \right) \left(\sum_{i=1}^n y_i \right) }{\sqrt{n \sum_{i=1}^n x_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2} \sqrt{n \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n y_i \right)^2} }\]

was bequemer neu geschrieben werden kann wie:

\[r = \frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n x_i \right) \left(\sum_{i=1}^n y_i \right) }{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2 - \frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n y_i \right)^2}} = \frac{SS_{XY}}{\sqrt{SS_{XX}\cdot SS_{YY} }}\]

Beachten Sie, dass dies nur für zwei Variablen geeignet ist.Wann immer Sie mehr als zwei Variablen haben, können Sie unsere verwenden Korrelationsmatrix Reform , die Ihnen die Korrelationsmatrix liefern, die die Korrelation zwischen allen Variablenpaaren darstellt.

Können Sie ein Konfidenzintervall für einen Korrelationskoeffizienten berechnen?

Ja!Ein Korrelationskoeffizient hat ein Konfidenzintervall.In der Tat ist ein Stichprobenkorrelationskoeffizient eine Schätzung einer echten Populationskorrelation und als solche für Intervallschätzungen zugänglich.Das Verfahren zur Berechnung des Konfidenzintervalls, das einer Stichprobenkorrelation zugeordnet ist, ist etwas mehr verworren, da es die Verwendung bestimmter Transformationen erfordert.

Wie finden Sie den Korrelationskoeffizienten und das Konfidenzintervall?

Schritt 1 : Sie müssen die Beispielkorrelation \(r\) berechnen oder es Ihnen zur Verfügung stellen lassen.

Schritt 2 : Berechnen Sie eine Transformation des Korrelationskoeffizienten, basierend auf der inversen hyperbolischen Tangente, definiert als \(r' = \tanh^{-1}(r)\).Dies wird das Zentrum eines Hilfskonfidenzintervalls sein, das verwendet wird.

Schritt 3 : Berechnen Sie den Standardfehler der transformierten Korrelation mit der folgenden Formel:

\[SE = \frac{1}{\sqrt{n-3}}\]

wobei \(n\) die Stichprobengröße darstellt.

Schritt 4 : Berechnen Sie das folgende Hilfskonfidenzintervall:

\[CI' = (\tanh^{-1}(r) - z_c \times SE, \tanh^{-1}(r) + z_c \times SE)\]

wobei \(z_c\) den kritischen Wert für das gegebene Konfidenzniveau darstellt.Zum Beispiel haben wir für ein Konfidenzniveau von 95% das \(z_c = 1.96\).

Schritt 5 : Wir exponentiieren die Grenzen des Hilfskonfidenzintervalls CI ', um das Konfidenzintervall zu erhalten, an dem wir interessiert sind:

\[CI = (\tanh(r' - z_c \times SE), \tanh(r' + z_c \times SE))\]

So berechnen Sie das Konfidenzintervall in R.

Konfidenzintervall für die Interpretation des Korrelationskoeffizienten

Die Interpretation des Konfidenzintervalls für die Korrelation ist ungefähr gleich wie bei anderen Parametern und Stichprobenstatistiken.Für ein Konfidenzintervall mit Grenzen \((r_L, r_U)\) können wir sagen, dass wir zuversichtlich sind (auf dem gegebenen Konfidenzniveau), dass das Intervall \((r_L, r_U)\) die wahre Bevölkerungskorrelation enthält.

Konkreter, mit einem Beispiel.Angenommen, Sie haben ein 95% iger Korrelationskonfidenzintervall mit Grenzen \((0.34, 0.59)\) Dann können wir sagen, dass wir zu 95% zuversichtlich sind, dass das Intervall \((0.34, 0.59)\) die wahre Bevölkerungskorrelation enthält.