Ein Hypothesentest ist ein Verfahren, bei dem eine Behauptung über einen bestimmten Populationsparameter getestet wird. Ein Populationsparameter ist eine numerische Konstante, die o darstellt und eine Verteilung kennzeichnet. Typischerweise handelt es sich bei einem Hypothesentest um einen Populationsmittelwert, der normalerweise als \(\mu\) bezeichnet wird. In Wirklichkeit kann es sich jedoch um einen beliebigen Populationsparameter handeln, beispielsweise um einen Populationsanteil \(p\) oder eine Populationsstandardabweichung \(\sigma\).

In diesem Fall analysieren wir den Fall eines Hypothesentests mit einer Populationsstandardabweichung \(\sigma\). Wie bei jeder Art von Hypothesentest Beispieldaten sind erforderlich, um einen Anspruch auf \(\sigma\) zu testen. Beachten Sie, dass die Behauptung manchmal stattdessen die Populationsvarianz \({{\sigma }^{2}}\) beinhaltet, aber im Wesentlichen dasselbe ist, weil beispielsweise die Behauptung über die Populationsvarianz, dass \({{\sigma }^{2}}=16\) absolut gleichbedeutend mit der Behauptung \(\sigma =4\) über die Populationsstandardabweichung ist. Denken Sie daher immer daran, dass die Behauptung über die Populationsvarianz immer eine Behauptung über die Populationsstandardabweichung gepaart hat und umgekehrt.

Die Verfahren zum Bestimmen der Null- und Alternativhypothesen sowie die Art des Endes für den Test werden unabhängig von den Schritten angewendet, die zum Testen eines Anspruchs auf den Populationsmittelwert verwendet werden (dh, wir geben den / die angegebenen Anspruch (e) in mathematischer Form an und untersuchen ihn die Art des betreffenden Zeichens).

BEISPIEL

Angenommen, ein Beamter des Finanzministeriums behauptet, dass Pennys nach 1983 Gewichte mit einer Standardabweichung von mehr als 0,0230 g haben. Angenommen, eine einfache Zufallsstichprobe von n = 25 Pennys vor 1983 wird gesammelt, und diese Stichprobe hat eine Standardabweichung von 0,03910 g. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0,05, um die Behauptung zu testen, dass Pennys vor 1983 Gewichte mit einer Standardabweichung von mehr als 0,0230 g haben. Scheint es auf der Grundlage dieser Stichprobenergebnisse, dass die Gewichte von Pennys vor 1983 stärker variieren als die von Pennys nach 1983?

WIE LÖSEN WIR DAS?

Wir müssen testen

\[\begin{align}{H}_{0}: \sigma \le {0.0230} \\ {{H}_{A}}: \sigma > {0.0230} \\ \end{align}\]

Der Wert der Chi-Quadrat-Statistik wird berechnet als

\[{{\chi }^{2}}=\frac{\left( n-1 \right){{s}^{2}}}{{{\sigma }^{2}}}=\frac{\left( 25-1 \right)\times {0.03910^2}}{0.0230^2}= {69.36}\]

Der obere kritische Wert für \(\alpha = 0.05\) und df = 24 ist

\[\chi _{upper}^{2}= {36.415}\]

was bedeutet, dass wir die Nullhypothese ablehnen.

Dies bedeutet, dass wir genügend Beweise haben, um die Behauptung zu stützen, dass die Gewichte von Pennys vor 1983 auf dem Signifikanzniveau von 0,05 stärker variieren als die von Pennys nach 1983.