In diesem Tutorial werden wir das Thema behandeln Nichtparametrische Tests . Unten finden Sie eine Liste relevanter Beispielprobleme mit schrittweisen Lösungen.
Frage 1: Ein medizinischer Forscher glaubt, dass die Anzahl der Ohrenentzündungen bei Schwimmern reduziert werden kann, wenn die Schwimmer gehört Ohrstöpsel. Eine Rolle von zehn Personen wurde gewählt und die Anzahl der Ohrenentzündungen über einen Zeitraum von vier Monaten. Bedenken der ersten zwei Monate ben suchen die Schwimmer die Ohrstöpsel nicht; in den zweiten zwei Monaten taten sie es. Zu Beginn des zweiten Zweimonatszeitraums wurde jeder Schwimmer Rechte, um sich, dass keine eigenen Vorlagen. Die Daten sind unhaltbar. Kann der Forscher bei \(\alpha = 0.05\) den Schluss ziehen, dass die Verwendung von Ohrstöpseln die Anzahl der Ohrinfektionen verbessert?
Lösung: Wir müssen die Hypothesen testen
\[\begin{aligned} & {{H}_{0}}:\text{ ear infections are the same with or without the ear plugs} \\ &{{H}_{A}}:\text{ swimmers get less ear infections with ear plugs} \\ \end{aligned}\]
Wir verwenden einen Sign-Test. Wir verwenden Statdisk, um die folgende Ausgabe zu erhalten:
Die \(x\) -Statistik ist gleich 2 (die weniger häufige Anzahl von Zeichen). Der kritische Wert ist 1. Da \(x\) nicht kleiner oder gleich dem kritischen Wert ist, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen. Dies bedeutet, dass wir nicht genügend Beweise haben, um die Behauptung zu untermauern, dass die Anzahl der Ohrenentzündungen bei Schwimmern verringert werden kann, wenn die Schwimmer Ohrstöpsel verwenden.
Frage 2: Untersuchungen zeigen, dass Personen, die sich freiwillig zur Teilnahme an Forschungsstudien melden, tendenziell eine höhere Intelligenz haben als Nicht-Freiwillige. Um dieses Phänomen zu testen, erhält ein Forscher eine Stichprobe von 200 Schülern. Die Studierenden erhalten eine Beschreibung einer psychologischen Forschungsstudie und werden gefragt, ob sie sich freiwillig zur Teilnahme melden würden. Der Forscher erhält auch einen IQ-Wert für jeden Schüler und klassifiziert die Schüler in Gruppen mit hohem, mittlerem und niedrigem IQ. Zeigen die folgenden Daten einen signifikanten Zusammenhang zwischen IQ und Freiwilligenarbeit? Test auf dem .05-Signifikanzniveau.
Lösung: Die folgende Tabelle zeigt die entsprechende Kontingenztabelle:
|
Beobachtete |
Hoch |
Mittel |
Niedrig |
Gesamt |
|
Freiwillige |
43 |
73 |
34 |
150 |
|
Nicht freiwillig |
7 |
27 |
16 |
50 |
|
Gesamt |
50 |
100 |
50 |
200 |
Wir sind daran interessiert, die folgenden Null- und Alternativhypothesen zu testen:
\[\begin{aligned}{{H}_{0}}:\,\,\, \text{Volunteer Status}\text{ and }\text {IQ}\text{ are independent} \\ {{H}_{A}}:\,\,\,\text{Volunteer Status}\text{ and }\text {IQ}\text{ are NOT independent} \\ \end{aligned}\]
Aus der obigen Tabelle berechnen wir die Tabelle mit den erwarteten Werten
|
Erwartet |
Hoch |
Mittel |
Niedrig |
|
Freiwillige |
37.5 |
75 |
37.5 |
|
Nicht freiwillig |
12.5 |
25 |
12.5 |
Die Art und Weise, wie diese erwarteten Frequenzen berechnet werden, ist unten dargestellt:
\[{E}_{{1},{1}}= \frac{ {R}_{1} \times {C}_{1} }{T}= \frac{{150} \times {50}}{{200}}={37.5},\,\,\,\, {E}_{{1},{2}}= \frac{ {R}_{1} \times {C}_{2} }{T}= \frac{{150} \times {100}}{{200}}={75},\,\,\,\, {E}_{{1},{3}}= \frac{ {R}_{1} \times {C}_{3} }{T}= \frac{{150} \times {50}}{{200}}={37.5}\]
\[,\,\,\,\, {E}_{{2},{1}}= \frac{ {R}_{2} \times {C}_{1} }{T}= \frac{{50} \times {50}}{{200}}={12.5},\,\,\,\, {E}_{{2},{2}}= \frac{ {R}_{2} \times {C}_{2} }{T}= \frac{{50} \times {100}}{{200}}={25},\,\,\,\, {E}_{{2},{3}}= \frac{ {R}_{2} \times {C}_{3} }{T}= \frac{{50} \times {50}}{{200}}={12.5}\]
Schließlich verwenden wir die Formel \(\frac{{{\left( O-E \right)}^{2}}}{E}\), um zu erhalten
|
(fo - fe) ² / fe |
Hoch |
Mittel |
Niedrig |
|
Freiwillige |
0,8067 |
0,0533 |
0,3267 |
|
Nicht freiwillig |
2.42 |
0,16 |
0,98 |
Die erforderlichen Berechnungen sind nachstehend aufgeführt:
\[\frac{ {\left( {43}-{37.5} \right)}^{2} }{{37.5}} ={0.8067},\,\,\,\, \frac{ {\left( {73}-{75} \right)}^{2} }{{75}} ={0.0533},\,\,\,\, \frac{ {\left( {34}-{37.5} \right)}^{2} }{{37.5}} ={0.3267},\,\,\,\, \frac{ {\left( {7}-{12.5} \right)}^{2} }{{12.5}} ={2.42}\]
\[,\,\,\,\, \frac{ {\left( {27}-{25} \right)}^{2} }{{25}} ={0.16},\,\,\,\, \frac{ {\left( {16}-{12.5} \right)}^{2} }{{12.5}} ={0.98}\]
Daher ist der Wert der Chi-Quadrat-Statistik
\[{{\chi }^{2}}=\sum{\frac{{{\left( {{O}_{ij}}-{{E}_{ij}} \right)}^{2}}}{{{E}_{ij}}}}={0.8067} + {0.0533} + {0.3267} + {2.42} + {0.16} + {0.98} = 4.747\]
Der kritische Chi-Quadrat-Wert für die Freiheitsgrade \(\alpha =0.05\) und \(\left( 3-1 \right)\times \left( 2-1 \right)=2\) ist \(\chi _{C}^{2}= {5.991}\). Da \({{\chi }^{2}}=\sum{\frac{{{\left( {{O}_{ij}}-{{E}_{ij}} \right)}^{2}}}{{{E}_{ij}}}}= {4.747}\) <\(\chi _{C}^{2}= {5.991}\), lehnen wir die Nullhypothese nicht ab, was bedeutet, dass wir nicht genügend Beweise haben, um die Nullhypothese der Unabhängigkeit abzulehnen.
Frage 3: Nachfolgend sind die Jahre aufgeführt, in denen US-Präsidenten, Päpste seit 1690 und britische Monarchen nach ihrer Amtseinführung, Wahl oder Krönung lebten. Zum Zeitpunkt des Schreibens ist der letzte Präsident Gerald Ford und der letzte Papst Johannes Paul II. Die Zeiten basieren auf Daten aus Computer Interactive Data Analysis von Lunn und McNeil, John Wiley & Son. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0,05, um die Behauptung zu testen, dass die beiden Stichproben von Langlebigkeitsdaten von Päpsten und Monarchen aus Populationen mit demselben Median stammen.
Interessen
10 29 26 28 15 23 17 25 0 20 4 1 24 16 12 4 10 17 16 0 7 24 12 4
18 21 11 2 9 36 12 28 3 16 9 25 23 32
Päpste
2 9 21 3 6 10 18 11 6 25 23 6 2 15 32 25 11 8 17 19 5 15 0 26
Monarchen 17 6 13 12 13 33 59 10 7 63 9 25 36 15
Lösung: Wir müssen einen Wilcoxon-Test erhalten, um die zu erwarten, dass die beiden Proben ausgenommen mit den mittleren Medianwerten. Die folgenden Ergebnisse werden erhalten:
|
Wilcoxon-Mann / Whitney-Test |
||||
|
n |
Summe der Ränge |
|||
|
24 |
416 |
Päpste |
||
|
14 |
325 |
Monarchen |
||
|
38 |
741 |
gesamt |
||
|
468,00 |
erwarteter Wert |
|||
|
33.00 |
Standardabweichung |
|||
|
-1,56 |
z, korrigiert um Krawatten |
|||
|
.1186 |
p-Wert (zweiseitig) |
|||
|
Nein. |
Etikette |
Daten |
Rang |
|
|
1 |
Päpste |
2 |
2.5 |
|
|
2 |
Päpste |
9 |
12.5 |
|
|
3 |
Päpste |
21 |
28 |
|
|
4 |
Päpste |
3 |
4 |
|
|
5 |
Päpste |
6 |
7.5 |
|
|
6 |
Päpste |
10 |
14.5 |
|
|
7 |
Päpste |
18 |
26 |
|
|
8 |
Päpste |
11 |
16.5 |
|
|
9 |
Päpste |
6 |
7.5 |
|
|
10 |
Päpste |
25 |
31 |
|
|
11 |
Päpste |
23 |
29 |
|
|
12 |
Päpste |
6 |
7.5 |
|
|
13 |
Päpste |
2 |
2.5 |
|
|
14 |
Päpste |
fünfzehn |
22 |
|
|
fünfzehn |
Päpste |
32 |
34 |
|
|
16 |
Päpste |
25 |
31 |
|
|
17 |
Päpste |
11 |
16.5 |
|
|
18 |
Päpste |
8 |
11 |
|
|
19 |
Päpste |
17 |
24.5 |
|
|
20 |
Päpste |
19 |
27 |
|
|
21 |
Päpste |
5 |
5 |
|
|
22 |
Päpste |
fünfzehn |
22 |
|
|
23 |
Päpste |
0 |
1 |
|
|
24 |
Päpste |
26 |
33 |
|
|
25 |
Monarchen |
17 |
24.5 |
|
|
26 |
Monarchen |
6 |
7.5 |
|
|
27 |
Monarchen |
13 |
19.5 |
|
|
28 |
Monarchen |
12 |
18 |
|
|
29 |
Monarchen |
13 |
19.5 |
|
|
30 |
Monarchen |
33 |
35 |
|
|
31 |
Monarchen |
59 |
37 |
|
|
32 |
Monarchen |
10 |
14.5 |
|
|
33 |
Monarchen |
7 |
10 |
|
|
34 |
Monarchen |
63 |
38 |
|
|
35 |
Monarchen |
9 |
12.5 |
|
|
36 |
Monarchen |
25 |
31 |
|
|
37 |
Monarchen |
36 |
36 |
|
|
38 |
Monarchen |
fünfzehn |
22 |
|
Da wir zwei unabhängige Gruppen (Päpste und Monarchen) vergleichen, können wir verwenden Wilcoxon-Rang-Summen-Test.
Das Nullhypothese getestet ist
H0: Die beiden Proben stammen aus Populationen mit demselben Median.
Das alternative Hypothese ist
H1: Die beiden Proben stammen aus Populationen mit unterschiedlichem Median.
Signifikanzniveau = 0,05
Teststatistik: Die beobachteten Werte aus den gepoolten Probenergebnissen werden vom kleinsten zum größten eingestuft. Nachdem die Ranglisten erhalten wurden, werden die Stichproben getrennt und die Summe der Ranglisten für jede berechnet.
Das Teststatistik verwendet wird
\[Z=\frac{{{T}_{A}}-\frac{{{n}_{2}}\left( {{n}_{1}}+{{n}_{2}}+1 \right)}{2}}{\sqrt{\frac{{{n}_{1}}{{n}_{2}}\left( {{n}_{1}}+{{n}_{2}}+1 \right)}{12}}}\]
,
wo T. EIN ist die Summe der Ränge der kleineren Stichprobe. Hier n 1 = 24, n 2 = 14, T. EIN = 416.
Therefore,\[Z=\frac{416-\frac{24\left( 14+24+1 \right)}{2}}{\sqrt{\frac{14*24\left( 14+24+1 \right)}{12}}}=-1.57\]
Ablehnungskriterien: Lehnen Sie die Nullhypothese ab, wenn der Absolutwert der Teststatistik größer als der kritische Wert bei einem Signifikanzniveau von 0,05 ist.
Unterer kritischer Wert = -1,96
Oberer kritischer Wert = 1,96
Fazit: Die Nullhypothese kann nicht verworfen werden, da der Absolutwert der Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist. Die Stichprobe liefert nicht genügend Beweise, um die Behauptung zurückzuweisen, dass die beiden Stichproben aus Populationen mit demselben Median stammen.
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