Mehr über Derivate
Im zweiten Teil dieses Tutorials werden wir an einigen anderen, etwas komplizierteren Beispielen arbeiten.
Beispiel: Berechnen Sie mit der Funktion \(f(x) = x^3 + 2x+1\) die Ableitung \(f'(x)\) für jeden Punkt, an dem sie definiert ist.
Lösung: Beachten Sie, dass sie uns in diesem Problem keinen bestimmten Punkt für die Berechnung der Ableitung geben. Wir müssen an einem beliebigen Punkt \(x_0\) berechnen. Wie machen wir das? Nun, wir folgen einfach der Definition:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]und jetzt verwenden wir die Definition von \(f(x)\). In der Tat erhalten wir:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{(x^3+2x+1)-(x_0^3+2x_0 +1)}{x-x_0} =\lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x+1-x_0^3-2x_0 -1}{x-x_0} \] \[= \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} \]Jetzt verwenden wir einen kleinen und ordentlichen algebraischen Trick:
\[x^3 - x_0^3 = (x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)\]Jetzt pass auf. Wir verwenden diesen kleinen Trick im letzten Teil der Berechnung der Ableitung, und das finden wir
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2) + 2x-2x_0}{x-x_0} \]Wie Sie sehen können, können wir \(x-x_0\) abbrechen und wir bekommen endlich
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2 + 2) = x_0^2 + x_0^2+x_0^2+2 = 3x_0^2 +2\]Mit anderen Worten ist die Ableitungsfunktion \(f'(x) = 3x^2+2\). Siehst du? Das habe ich gemeint, als ich sagte, dass die Ableitung auch eine Funktion ist. In diesem Fall ist die Ableitung für alle \(x\in \mathbb R\) gut definiert.
Ja, es stimmt, wir brauchten einige Tricks, um die Ableitung zu berechnen. Also, wie machst du das? Lassen Sie mich Ihnen etwas sagen, Sie werden Derivate die meiste Zeit nicht so von Hand berechnen. Im nächsten Tutorial werde ich Ihnen einige vorstellen Werkzeuge, die die Berechnung von Derivaten sehr einfach machen .
Also, warte bis zum nächsten.