Pregunta 1: En un estudio clásico sobre el apego de los bebés, Harlow (1959) colocó a los monos bebés en jaulas con dos madres sustitutas artificiales. Una "madre" estaba hecha de malla de alambre desnudo y contenía un biberón del que los bebés podían alimentarse. La otra madre estaba hecha de felpa suave y no tenía acceso a alimentos. Harlow observó a los monos bebés y registró cuánto tiempo por día pasaba con cada madre. En un día típico, los bebés pasaban un total de 18 horas aferrados a una de las dos madres. Si no hubiera preferencia entre los dos, esperaría que el tiempo se dividiera en partes iguales, con un promedio de µ = 9 horas para cada una de las madres. Sin embargo, el mono típico pasaba unas 15 horas al día con la madre de felpa, lo que indica una fuerte preferencia por la madre suave y tierno. Suponga que una muestra de n = 9 monos bebés promedió M = 15,3 horas por día con SS = 216 con la madre de felpa. ¿Es este resultado suficiente para concluir que los monos pasaron significativamente más tiempo con la madre más suave de lo que se esperaría si no hubiera preferencia? Utilice una prueba de dos colas con \(\alpha = .05\).

Solución: Queremos probar siguiendo hipótesis nulas y alternativas

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {9}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {9} \\ \end{align}\]

Dado que se desconoce la desviación estándar de la población $ \ sigma $, tenemos que usar una prueba t con la siguiente fórmula:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}\]

Esto corresponde a una prueba t de dos colas.

\[s=\sqrt{\frac{SS}{n-1}}=\sqrt{27}=5.196152\]

La estadística t se calcula mediante la siguiente fórmula:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}=\frac{15.3-9}{5.1962/\sqrt{9}}=3.6373\]

El valor crítico para \(\alpha = 0.05\) y para df = n- 1 = 9 -1 = 8 grados de libertad para esta prueba de dos colas es \(t_{c} = 2.31\). La región de rechazo está dada por

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.31} \right\}\]

Dado que \(|t| = 3.6373 {>} t_c = 2.31\), rechazamos la hipótesis nula H ₀ .

Por lo tanto, tenemos suficiente evidencia para respaldar la afirmación de que los monos pasaron significativamente más tiempo con la madre más suave de lo que se esperaría si no hubiera preferencia.

Pregunta 2: Dado un tamaño de muestra de 38, con una media muestral de 660,3 y una desviación estándar de la muestra de 95,9, debemos realizar la siguiente prueba de hipótesis.

Hipótesis nula H0: μ = 700

Hipótesis alternativa H0: μ ≠ 700

A nivel de significancia 0.05

a. Calcular las estadísticas de la prueba
(Sugerencia: este es el caso cuando probamos la afirmación sobre la media de la población con una desviación estándar de la población desconocida; 95,9 es una desviación estándar de la muestra, no una desviación estándar de la población).

segundo. Utilice la Tabla A-3 para encontrar el valor crítico de esta prueba y tome una decisión:
rechazar o no rechazar la Hipótesis Nula

Solución: a) Nuestro interés es probar las siguientes hipótesis nulas y alternativas

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {700}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {700} \\ \end{align}\]

Dado que la desviación estándar de la población \(\sigma\) es desconocida, tenemos que usar una prueba t con la siguiente expresión:

\[t =\frac{\bar{X}-\mu }{s / \sqrt{n}}\]

Esto corresponde a una prueba t de dos colas. La estadística t se calcula mediante la siguiente fórmula:

\[t=\frac{\bar{X}-\mu }{s /\sqrt{n}}=\frac{{660.3}-700}{95.9/\sqrt{38}}={-2.5519}\]

b) El valor crítico para \(\alpha = 0.05\) y para \(df = n- 1 = 38 -1 = 37\) grados de libertad para esta prueba de dos colas es \(t_{c} = 2.026\). La región de rechazo está dada por

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.026} \right\}\]

Dado que \(|t| = 2.5519 {>} t_c = 2.026\), rechazamos la hipótesis nula H ₀ .

Por lo tanto, tenemos suficiente evidencia para apoyar la afirmación de que la media de la población es diferente de 700.

Pregunta 3: Un agente de bienes raíces desea determinar si los tasadores de impuestos y los tasadores de bienes raíces están de acuerdo con los valores de las viviendas. Una muestra aleatoria de los dos grupos evaluó 10 viviendas. Los datos se muestran aquí. ¿Existe una diferencia significativa en los valores de las viviendas para cada grupo? Utilice a = 0,05.

	Tasadores inmobiliarios	Tax assessors
Mean	$ 83,256	$ 88,354
Desviación Estándar	$ 3256	$ 2340
Sample size	10	10

Solución: Estamos interesados ​​en probar

\[\begin{align}{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}} {=} {{\mu }_{2}} \\ {{H}_{A}}:{{\mu }_{1}} {\ne} {{\mu }_{2}} \\ \end{align}\]

que corresponde a una prueba t de muestras independientes de dos colas. Antes de aplicar la prueba t, se requiere probar si se puede suponer que las varianzas son iguales o no. Tenemos que probar

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2} \\{{H}_{A}}:\sigma _{1}^{2}\ne \sigma _{2}^{2} \\ \end{align}\]

La estadística F se calcula como

\[F=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}=\frac{{3256}^{2}}{{2340}^{2}}=1.9361\]

Los valores críticos inferior y superior para \(\alpha =0.05\) y df ₁ = 9 y gl ₂ = 9 son

\[{{F}_{lower}}=0.2484,\,\,\,{{F}_{upper}}=4.026\]

lo que significa que no rechazamos la hipótesis nula de varianzas iguales. Observe que estamos asumiendo que las varianzas son iguales, por lo que el estadístico t se calcula como:

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}\]

donde la desviación estándar agrupada se calcula como

\[{{s}_{p}}=\sqrt{\frac{\left( {{n}_{1}}-1 \right)s_{1}^{2}+\left( {{n}_{2}}-1 \right)s_{2}^{2}}{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2}}=\sqrt{ \frac{9\times {3256}^{2}+9 \times {2340}^{2}}{9+9}}= {2835.2369}\]

Esto significa que la estadística t es

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}=\frac{{83256}-{88354}}{2835.2369\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}}={-4.0206}\]

El valor crítico para \(\alpha = 0.05\) y para \(df = 18\) grados de libertad para esta prueba de dos colas es \(t_{c} = 2.1\). La región de rechazo está dada por

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.1} \right\}\]

Dado que \(|t| = 4.0206 {>} t_c = 2.1\), rechazamos la hipótesis nula H ₀ .

Por lo tanto, tenemos suficiente evidencia para apoyar la afirmación de que existe una diferencia significativa en los valores de las viviendas para cada grupo.