Más sobre derivados
En la segunda parte de este tutorial, trabajaremos en algunos otros ejemplos un poco más complicados.
Ejemplo: Dada la función \(f(x) = x^3 + 2x+1\), calcule la derivada \(f'(x)\) para cada punto donde esté definida.
Solución: Observe que en este problema no nos están dando un punto específico en el que calcular la derivada. Necesitamos calcular en un punto arbitrario \(x_0\). ¿Como hacemos eso? Bueno, solo seguimos la definición:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]y ahora usamos la definición de \(f(x)\). De hecho, obtenemos:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{(x^3+2x+1)-(x_0^3+2x_0 +1)}{x-x_0} =\lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x+1-x_0^3-2x_0 -1}{x-x_0} \] \[= \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} \]Ahora usamos un pequeño y ordenado truco algebraico:
\[x^3 - x_0^3 = (x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)\]Ahora presta atención. Usamos este pequeño truco en la última parte del cálculo de la derivada y encontramos que
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2) + 2x-2x_0}{x-x_0} \]Como puede observar, podemos cancelar \(x-x_0\), y finalmente obtenemos
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2 + 2) = x_0^2 + x_0^2+x_0^2+2 = 3x_0^2 +2\]En otras palabras, la función derivada es \(f'(x) = 3x^2+2\). ¿Lo ves? Eso es lo que quise decir cuando dije que la derivada también es una función. En este caso, la derivada está bien definida para todos \(x\in \mathbb R\).
Sí, es cierto que necesitábamos algunos trucos para calcular la derivada. Entonces, ¿cómo lo vas a hacer? Déjame decirte algo, no estarás calculando derivadas a mano así la mayor parte del tiempo. En el siguiente tutorial, te presentaré algunos herramientas que facilitan el cálculo de derivadas .
Entonces, espera hasta el próximo.