Instruções:
Utilize esta calculadora para calcular a matriz de co-factor associada a uma dada matriz que lhe é fornecida. Primeiro, clique num dos botões abaixo para especificar a dimensão da matriz.
Depois, clicar na primeira célula e digitar o valor, e mover-se em torno da matriz pressionando "TAB" ou clicando nas células correspondentes, para definir TODOS os valores da matriz.
Mais sobre esta calculadora de matriz de co-factor.
Provavelmente sem saber, já lidou com cofactores quando calculou um
determinante de uma matriz
de 3x3 ou superior. Assim, como se suspeita, os cofactores têm a ver com os determinantes obtidos ao remover uma fila e uma coluna.
Como se encontra o co-factor de uma matriz?
A primeira coisa a fazer é calcular a matriz dos menores. Assim, para uma dada matriz n x n A, o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz de menores é igual ao determinante da sub-matriz formada pela remoção da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz dada A>.
Assim, se chamarmos A[i,j] à sub-matriz obtida pela remoção da i-ésima linha e da j-ésima coluna de A>, definimos formalmente a matriz de menores, M> como:
Mij=detA[i,j]
Note-se que se <A é uma matriz n x n, então M é n x n também.
Então, o que é uma matriz de co-factor?
Quase lá. Assim, os menores são a matriz que contém todos estes determinantes das sub-matrices correspondentes obtidas através da eliminação de uma linha e uma coluna. O co-factor é quase isso, excepto que se acrescenta um sinal (positivo ou negativo), dependendo dos i e j.
De facto, a matriz de co-factor, C é definida como:
Cij=(−1)i+jMij=(−1)i+jdetA[i,j]
Isso parece-se muito com o que se usa quando se calculam os determinantes, não é? Então, para calcular a matriz do co-factor, é necessário
computar um monte de determinantes
.
Como utilizar esta calculadora matricial Cofactor com passos
Para utilizar esta calculadora de co-factor, tudo o que precisa de fazer é fornecer a matriz A>. A calculadora irá guiá-lo através do processo de cálculo dos menores e dos sinais para chegar aos cofactores.
Exemplo de cálculo da Matriz de Co-factor
Pergunta:
Assumir que tem a seguinte matriz
121231112
Solução:
Precisamos de calcular a matriz de cofactor da matriz 3×3 que foi fornecida.
Primeiro calculamos a matriz dos menores. Temos que, por definição, a matriz dos menores M é definida pela fórmula
Mij=detAi,j
onde neste caso <Ai,j é a matriz A após eliminação da linha i> e coluna j>>.
Portanto, e com base na matriz A> desde que obtenhamos os seguintes coeficientes da matriz de menores:
Para <A1,1:
M11=detA11=3112=3⋅(2)−1⋅(1)=5
Para <A1,2:
M12=detA12=2112=2⋅(2)−1⋅(1)=3
Para <A1,3:
M13=detA13=2131=2⋅(1)−1⋅(3)=−1
Para <A2,1:
M21=detA21=2112=2⋅(2)−1⋅(1)=3
Para <A2,2:
M22=detA22=1112=1⋅(2)−1⋅(1)=1
Para <A2,3:
M23=detA23=1121=1⋅(1)−1⋅(2)=−1
Para <A3,1:
M31=detA31=2311=2⋅(1)−3⋅(1)=−1
Para <A3,2:
M32=detA32=1211=1⋅(1)−2⋅(1)=−1
Para <A3,3:
M33=detA33=1223=1⋅(3)−2⋅(2)=−1
Resumindo, a matriz dos menores é:
M=53−131−1−1−1−1
Agora, podemos calcular os elementos da matriz do cofactor C usando a fórmula
Cij=(−1)i+jMij
A fórmula acima pode ser utilizada directamente porque os menores já são conhecidos. Recebemos