Mais sobre esta calculadora de matriz de co-factor.

Os co-factores estão estreitamente associados ao inverso de uma matriz, e são o trampolim da método em anexo habituados a calcular o inverso de uma matriz (quando existe).

Provavelmente sem saber, já lidou com cofactores quando calculou um determinante de uma matriz de 3x3 ou superior. Assim, como se suspeita, os cofactores têm a ver com os determinantes obtidos ao remover uma fila e uma coluna.

Como se encontra o co-factor de uma matriz?

A primeira coisa a fazer é calcular a matriz dos menores. Assim, para uma dada matriz n x n \(A\), o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz de menores é igual ao determinante da sub-matriz formada pela remoção da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz dada \(A\)>.

Assim, se chamarmos \(A[i,j]\) à sub-matriz obtida pela remoção da i-ésima linha e da j-ésima coluna de \(A\)>, definimos formalmente a matriz de menores, \(M\)> como:

\[ M_{ij} = \det A[i,j]\]

Note-se que se <\(A\) é uma matriz n x n, então \(M\) é n x n também.

Então, o que é uma matriz de co-factor?

Quase lá. Assim, os menores são a matriz que contém todos estes determinantes das sub-matrices correspondentes obtidas através da eliminação de uma linha e uma coluna. O co-factor é quase isso, excepto que se acrescenta um sinal (positivo ou negativo), dependendo dos i e j.

De facto, a matriz de co-factor, \(C\) é definida como:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[i,j]\]

Isso parece-se muito com o que se usa quando se calculam os determinantes, não é? Então, para calcular a matriz do co-factor, é necessário computar um monte de determinantes .

Como utilizar esta calculadora matricial Cofactor com passos

Para utilizar esta calculadora de co-factor, tudo o que precisa de fazer é fornecer a matriz \(A\)>. A calculadora irá guiá-lo através do processo de cálculo dos menores e dos sinais para chegar aos cofactores.

Exemplo de cálculo da Matriz de Co-factor

Pergunta: Assumir que tem a seguinte matriz

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Solução: Precisamos de calcular a matriz de cofactor da matriz \(3 \times 3\) que foi fornecida.

Primeiro calculamos a matriz dos menores. Temos que, por definição, a matriz dos menores \(M\) é definida pela fórmula

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

onde neste caso <\( A^{i,j}\) é a matriz \(A\) após eliminação da linha \(i\)> e coluna \(j\)>>.

Portanto, e com base na matriz \(A\)> desde que obtenhamos os seguintes coeficientes da matriz de menores:

Para <\(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 5\]

Para <\(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Para <\(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

Para <\(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Para <\(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para <\(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Para <\(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 3 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Para <\(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Para <\(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Resumindo, a matriz dos menores é:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Agora, podemos calcular os elementos da matriz do cofactor \(C\) usando a fórmula

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

A fórmula acima pode ser utilizada directamente porque os menores já são conhecidos. Recebemos

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 5 = (-1)^{ 2} \cdot 5 = 5\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = -1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 6} \left(-1\right) = 1\]

Resumindo, a matriz de co-factor é:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle -3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

que conclui o cálculo.