calculadora de transposição matricial
Instruções: Esta é uma calculadora matricial de transposição com passos. Tudo o que precisa de fazer é fornecer uma matriz \(A\), digitando os seus valores abaixo.
Modificar, se necessário, o tamanho das matrizes, indicando o número de filas e o número de colunas. Quando tiver as dimensões correctas pretendidas, introduza as matrizes (digitando os números e movendo-se pela matriz usando "TAB")
Número de Linhas = Número de Cols =Mais esta matriz transpõe a calculadora com passos
Muitas vezes a ideia de transposição matricial é apresentada em diferentes contextos. Como temos visto frequentemente, as matrizes são muito úteis em resolução de sistemas lineares , onde os coeficientes da equação são representados pelas filas.
Em alguns casos, poderia ser útil considerar os coeficientes representados pelas colunas, para os quais a matriz transposta vem a calhar.
Como se encontra a transposição da matriz?
Como habitualmente na matemática, haverá uma forma de definir a transposição usando símbolos. Vamos tentar isso primeiro. Consideremos \(A\) e dada matriz, com tamanho \(m \times n\) (então, tem \(m\) filas e \(n\) colunas).
A matriz transposta, <\(A^T\) será uma \(n \times m\) matriz (com \(n\) linhas e \(n\) colunas), definida como se segue:
\[ A^{T}_{ij} = A_{ji} \]Portanto, o elemento que está na coordenada \((i, j)\) de \(A^T\) (isto é, linha i, coluna j) é o mesmo que o elemento de \(A\) que está na coordenada \((j, i)\)>>.
No final, esta é uma forma elegante de dizer que as filas de \(A^T\) são construídas utilizando as colunas de \(A\)>>. Simples e simples.
Portanto, é super simples, e é preciso seguir estes passos:
- Estabeleça a matriz A que pretende transpor
- Identificar as colunas da matriz A
- Forme a matriz de transposição utilizando como linhas o que identificou como colunas de A
O procedimento para encontrar a transposição da matriz
O que encontrámos acima dá-nos um procedimento para encontrar facilmente a transposição de uma matriz.
Passo 1: Identificar e listar as colunas da matriz dada, e enumerá-las.
Passo 2: Utilize as colunas que encontrou no Passo 1 como filas de uma nova matriz. Essa nova matriz é a sua \(A^T\). Feito.
O que é a transposição de uma matriz 2x4?
Indo para o nitty-gritty, a transposição de uma matriz 2x4 é uma matriz 4x2. É necessário obter as 4 colunas da matriz original 2x4 dadas, e utilizá-las para definir como filas na matriz 4x2 transposta
O que são matrizes simétricas?
A ideia de simetria de matrizes está fortemente ligada à transposição de matrizes. De facto, diz-se que uma matriz \(A\) é simétrica quando \(A^T = A\)>>.
Assim, as matrizes simétricas são aquelas que permanecem inalteradas após a sua transposição. Assim, uma forma de avaliar se uma matriz é ou não simétrica é através do cálculo da sua transposição e da sua comparação com a matriz original .
A transposição é a única operação que se pode fazer com matrizes?
Absolutamente não! As matrizes são objectos versáteis, e muito semelhantes aos números que se podem adicionar matrizes , subtrair e multiplicar matrizes e mesmo em alguns casos pode dividir as matrizes (desde que sejam invertíveis).
Matriz transpõe o exemplo
Pergunta: Considere a seguinte matriz
\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} \]Calcular a matriz de transposição associada <\(A^t\)>.
Solução: Note que o tamanho da matriz dada é \(3 \times 3\), então o tamanho da matriz transposta é \(3 \times 3\)>
A transposição de uma matriz <\(A\), que chamamos \(A^T\), é formalmente definida componente por componente, como mostra a utilização da fórmula
\[ A^{T}_{ij} = A_{ji}\]Por outras palavras, o elemento que está na i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz de transposição é o mesmo que o elemento que está na j-ésima linha e i-ésima coluna da matriz original <\(A\)>.
Portanto, a i-ésima coluna da matriz dada \(A\) corresponde à i-ésima linha da matriz transposta. Assim, para calcular a transposição de uma matriz \(A\), basta pegar nas suas colunas e fazê-las as filas da matriz transposta. Assim, obtemos:
\[ A^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{bmatrix} \]que conclui o cálculo da transposição <\(A^T\)>>.
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