Mais esta matriz transpõe a calculadora com passos

Muitas vezes a ideia de transposição matricial é apresentada em diferentes contextos. Como temos visto frequentemente, as matrizes são muito úteis em resolução de sistemas lineares , onde os coeficientes da equação são representados pelas filas.

Em alguns casos, poderia ser útil considerar os coeficientes representados pelas colunas, para os quais a matriz transposta vem a calhar.

Como se encontra a transposição da matriz?

Como habitualmente na matemática, haverá uma forma de definir a transposição usando símbolos. Vamos tentar isso primeiro. Consideremos $A$ e dada matriz, com tamanho $m \times n$ (então, tem $m$ filas e $n$ colunas).

A matriz transposta, <$A^T$ será uma $n \times m$ matriz (com $n$ linhas e $n$ colunas), definida como se segue:

$$A^{T}_{ij} = A_{ji}$$

Portanto, o elemento que está na coordenada $(i, j)$ de $A^T$ (isto é, linha i, coluna j) é o mesmo que o elemento de $A$ que está na coordenada $(j, i)$>>.

No final, esta é uma forma elegante de dizer que as filas de $A^T$ são construídas utilizando as colunas de $A$>>. Simples e simples.

Portanto, é super simples, e é preciso seguir estes passos:

1. Estabeleça a matriz A que pretende transpor
2. Identificar as colunas da matriz A
3. Forme a matriz de transposição utilizando como linhas o que identificou como colunas de A

O procedimento para encontrar a transposição da matriz

O que encontrámos acima dá-nos um procedimento para encontrar facilmente a transposição de uma matriz.

Passo 1: Identificar e listar as colunas da matriz dada, e enumerá-las.

Passo 2: Utilize as colunas que encontrou no Passo 1 como filas de uma nova matriz. Essa nova matriz é a sua $A^T$. Feito.

O que é a transposição de uma matriz 2x4?

Indo para o nitty-gritty, a transposição de uma matriz 2x4 é uma matriz 4x2. É necessário obter as 4 colunas da matriz original 2x4 dadas, e utilizá-las para definir como filas na matriz 4x2 transposta

O que são matrizes simétricas?

A ideia de simetria de matrizes está fortemente ligada à transposição de matrizes. De facto, diz-se que uma matriz $A$ é simétrica quando $A^T = A$>>.

Assim, as matrizes simétricas são aquelas que permanecem inalteradas após a sua transposição. Assim, uma forma de avaliar se uma matriz é ou não simétrica é através do cálculo da sua transposição e da sua comparação com a matriz original .

A transposição é a única operação que se pode fazer com matrizes?

Absolutamente não! As matrizes são objectos versáteis, e muito semelhantes aos números que se podem adicionar matrizes , subtrair e multiplicar matrizes e mesmo em alguns casos pode dividir as matrizes (desde que sejam invertíveis).

Matriz transpõe o exemplo

Pergunta: Considere a seguinte matriz

$$A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix}$$

Calcular a matriz de transposição associada <$A^t$>.

Solução: Note que o tamanho da matriz dada é $3 \times 3$, então o tamanho da matriz transposta é $3 \times 3$>

A transposição de uma matriz <$A$, que chamamos $A^T$, é formalmente definida componente por componente, como mostra a utilização da fórmula

$$A^{T}_{ij} = A_{ji}$$

Por outras palavras, o elemento que está na i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz de transposição é o mesmo que o elemento que está na j-ésima linha e i-ésima coluna da matriz original <$A$>.

Portanto, a i-ésima coluna da matriz dada $A$ corresponde à i-ésima linha da matriz transposta. Assim, para calcular a transposição de uma matriz $A$, basta pegar nas suas colunas e fazê-las as filas da matriz transposta. Assim, obtemos:

$$A^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{bmatrix}$$

que conclui o cálculo da transposição <$A^T$>>.

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