Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos nos eixos coordenados que têm a propriedade de que a diferença entre as distâncias a dois pontos fixos (os focos), é igual a uma constante, que denominamos \(2a\).

Naturalmente, isso soa um pouco intimidante e muito técnico, mas é realmente a forma como uma hipérbole é definida.

Talvez, se eu der a equação de uma hipérbole, você a "reconheça".

Vamos tentar: esta é a equação de uma hipérbole muito geral:

Você poderia descobrir como fica apenas verificando sua equação? Provavelmente não. Então, eu apresento a hipérbole, graficamente para você:

O gráfico acima mostra apenas o gráfico da hipérbole, mas existem muitos outros elementos dos quais você precisa estar ciente, como as assíntotas inclinadas, os vértices e os focos. Confira o gráfico abaixo.

A Equação Geral da Hipérbole

Sem muita discussão teórica, afirmaremos que a equação geral da hipérbole com focos no eixo x é

Para a hipérbole descrita pela equação acima, ela possui vértices nos pontos \((-a, 0)\) e \((a, 0)\) e focos nos pontos \((-c, 0)\) e \((c, 0)\), onde \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Uma característica interessante dessa hipérbole é que ela tem duas assíntotas inclinadas

Assíntota 1 : \(\displaystyle y = \frac{b}{a}x\)

Assíntota 2 : \(\displaystyle y = -\frac{b}{a}x\)

Agora, o que acontece com a equação da hipérbole, se em vez disso os vértices são traduzidos por um determinado ponto \((k,h)\)?

Nesse caso, tudo que você precisa fazer é substituir \(x\) por \(x-k\) e substituir \(y\) por \(x-h\).

Portanto, ao fazer uma tradução, obtemos que a equação de uma hipérbole geral é

A hipérbole acima possui vértices nos pontos \((k-a, h)\) e \((k+a, h)\) e focos nos pontos \((k-c, h)\) e \((k+c, h)\), onde \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

As equações das assíntotas inclinadas são \(y = \frac{b}{a}(x-k) + h\) e \(y = -\frac{b}{a}(x-k) + h\).

O que acontece com as hipérboles que se abrem ao longo do eixo y?

Por simetria, tudo o que temos a fazer é simplesmente substituir os papéis de \(x\) e \(y\) na equação geral da hipérbole que já temos. Na prática, isso significa que onde quer que \(x\) apareça na equação da parábola que temos, nós o trocamos \(y\), e vice-versa por \(y\).

Então, no caso de uma hipérbole que abre ao longo do eixo x, a equação geral é

A hipérbole acima possui vértices nos pontos \((k, h - b)\) e \((k, h+b\) e focos nos pontos \((k, h-c)\) e \((k, h+c)\), onde \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

As equações das assíntotas inclinadas são \(y = \frac{b}{a}(x-k) + h\) e \(y = -\frac{b}{a}(x-k) + h\).

EXEMPLO 1

Encontre os focos, vértices e assíntotas oblíquas da hipérbole:

RESPONDA:

Essa hipérbole se abre ao longo do eixo y. Neste caso, os valores de tradução são \(k = 4\) e \(h = 2\). Além disso, obtemos \(a = \sqrt{16} = 4\) e \(b = \sqrt{9} = 3\). Portanto, obtemos esse \(c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5\).

Portanto, os focos são \((k, h-c) = (4, 2 - 5) = (4, -3)\) e \((k, h+c) = (4, 2 + 5) = (4, 7)\).

Os vértices são \((k, h-b) = (4, 2 - 3) = (4, -1)\) e \((k, h+b) = (4, 2 + 3) = (4, 5)\).

As assíntotas inclinadas são

Graficamente:

EXEMPLO 2

Encontre a equação da hipérbole com focos no vértice \((-4, 0)\) e \((4, 0)\), foco em \((6, 0\).

RESPONDA:

Observe que os focos e vértices estão no eixo x, então a hipérbole se abre ao longo do eixo x. Além disso, como os focos são simétricos em relação à origem, e um vértice é \((4, 0)\), obtemos esse \(a = 4\). E como um dos focos está em \((6, 0)\), obtemos esse \(b = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5\).

Portanto, a equação da hipérbole é:

A hipérbole e as seções cônicas gerais

Da mesma forma que no caso da parábola, a hipérbole está intimamente relacionada ao cone. Na verdade, um matemático grego chamado Apolônio é quem descobriu essa conexão, ao compreender o conceito de seções cônicas.

Uma seção cônica ocorre quando você faz um corte de um cone com um plano e, dependendo do ângulo relativo do cone e do plano no ponto de corte, o cone é cortado de uma forma em que a seção transversal tenha uma forma específica .

Portanto, dependendo do ângulo de corte relativo, temos diferentes formas de seção, e essas são a parábola, o círculo, a elipse e a hipérbole. Veja o gráfico abaixo: