Uma parábola é o local geométrico de pontos nos eixos de coordenadas que têm a propriedade que são equidistantes de um ponto fixo (chamado de foco) e uma linha (chamada diretric).

Eu sei o que parece um pouco técnico demais, mas vamos passar por isso, e no final você verá que não é tão difícil.

Então, ajudaria se eu dissesse isso Uma função $f(x) = x^2$ representa uma paralbola? Certifique-se de ajudar.E você pode estar pensando "Por que você não me contou desde o início que a parábola é essa função?".

Porque não há uma parábola, há um número infinito deles.E uma parábola nem precisa ser representada por uma função.Sim, algumas relações são parabolas, como veremos.

A equação geral da parábola

Existem derivações simples para obter a equação de uma parábola com base na localização de uma diretra e no foco, mas vamos pular a derivação nesta introdução.

Verifique o gráfico abaixo.Precisamos identificar alguns elementos cruciais da parábola: temos o vértice, o foco e a directa.

Nós não vamos em muito detalhes, mas diremos a equação de uma parábola geral com vértice na origem, com foco $(0, a)$ e diretrix igual a $y = -a$ é

Esta parábola é o tipo de parábola que se abre ao longo do eixo Y.

Agora o que acontece quando, em vez de ter o vértice na origem, queremos ter o vértice em um determinado ponto $(k,h)$?

Bem, essa é a magia de trabalhar com um sistema de coordenadas, e tudo o que precisamos fazer uma tradução pelo ponto ponto $(k,h)$?Mas como você faz uma tradução por $(k,h)$?

Simples!Onde quer que você tenha $x$, você substitui por $x-k$ e onde quer que tenha $y$, substitui-lo por $x-h$.

Assim, fazendo uma tradução, a equação de uma parábola geral com vértice no ponto $(k,h)$, com foco $(k, h+a)$ e diretrix igual a $y = h-a$ é

que pode ser escrito como

O que acontece com os parábolos que se abrem ao longo do eixo X?

Por simetria, esta simplesmente obtida substituindo os papéis de $x$ e $y$ na equação da parábola já temos.Na praticidade, isso significa que, onde quer que $x$ apareça na equação da parábola, nós a mudamos $y$ e vice-versa para $y$.

Portanto, a equação de uma parábola geral com vértice no ponto $(h,k)$, com foco $(h+a, k)$ e direto igual a $x = h-a$ é:

Observe a diferença:

EXEMPLO 1

Encontre a equação da parábola que possui um diretrix _ xyz _ a _ e um foco _ xyz_b _.Também encontre o vértice.

RESPONDER:

O vértice é o na parábola, por isso é equidistante da Diretrix $y = -4$ e o foco $(0, 4)$, então o vértice é $0, 0)$.Por outro lado, para uma parábola com vértice na origem, a equação da Diretrix é $y = -a$, então neste caso $a = 4$.Consequentemente, a equação da parábola é

Graficamente:

Exemplo 2.

Encontre o vértice, foco e direto da parábola $y = 8x^2 - 16x + 9$.

RESPONDER:

Primeiro de tudo, precisamos completar o quadrado:

Equando isso com a equação geral, descobrimos que o vértice está no ponto $(1, 1)$, e também temos que $4a = 8$, então $a = 2$, portanto, a directrix é $y = h - a = 1 - 2 = -1$ e o foco é $(k, h + a) = (1, 1+2) = (1, 3)$.

Graficamente:

A parábola e seções cônicas gerais

Por mais estranho que seja, a parábola está firmemente relacionada ao cone.Como você diria?Um matemático grego chamado Apollonius é crédito com a versão moderna, usando sistemas de coordenadas, das seções cônicas.

Apolônio e outros matemáticos descobriram que quando você cortou um cone com um avião, dependendo do ângulo relativo do cone e do avião, o cone é cortado de uma forma que a seção tenha formas diferentes.

As diferentes formas das seções, dependendo do ângulo relativo do corte são o que conhecemos como parábola, círculo, elipse e hiperbole, como mostram na figura abaixo: