O conceito básico de derivados
Imagine que você tem uma função \(f(x)\). Por exemplo, você poderia ter algo como \(f(x) = x^2\) ou talvez algo como \(f(x) = \sin x\). Definimos a derivada da função \(f(x)\) no ponto \(x_0\) como
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]se o limite existe. Antes de reclamar dizendo "O que diabos é isso ??" deixe-me dizer uma coisa, isso não é complicado como pode parecer à primeira vista. Primeiro, algumas observações sobre o que é esse limite.
- A derivada \(f'(x)\) também é uma função (sempre que for definido).
- A derivada é calculada em um determinado ponto \(x_0\), usando o limite mostrado acima. Se esse limite existe, e apenas se ele existe, dizemos que a derivada está bem definida no ponto \(x_0\) a, e é escrita como \(f'(x_0)\)
- Em outras palavras, a derivada \(f'(x)\) pode ser pensada como uma função que depende da função original \(f(x)\), e que é calculada ponto a ponto.
- É isso, é tudo que você precisa saber por enquanto (sério!).
Observe que o conceito de derivada em um dado ponto \(x_0\) é interpretado como a taxa instantânea de mudança da função naquele ponto. Isso é conseguido calculando o taxa média de mudança para um intervalo de largura \(\Delta x\), e tomando esse \(\Delta x\) conforme se aproxima de zero.
É hora de buscar alguns exemplos interessantes para entender o que está acontecendo:
Exemplo : Calcule a derivada da função \(f(x) = x^2\) no ponto \(x_0 = 2\)
Solução : Simplesmente usamos a definição e substituímos os termos correspondentes. Vamos ver o que temos:
\[f'(2) = \lim_{x\to 2} \frac{x^2-2^2}{x-2}\]Simplesmente substituímos \(f(x) = x^2\) e \(x_0 = 2\) na definição original de derivada. Agora, percebendo que \(x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)\), descobrimos que
\[f'(2) = \lim_{x\to 2} \frac{x^2-2^2}{x-2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}= \lim_{x\to 2} (x+2) = 4\]No próximo tutorial, aprenderemos mais coisas sobre como calcular derivados.
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