Maggiori informazioni sull'equazione in forma standard di un cerchio

Questa calcolatrice ti permetterà di calcolare la forma standard dell'equazione del cerchio, mostrando tutti i passaggi. È necessario fornire un'espressione valida per il raggio e le coordinate del centro. Possono essere qualsiasi espressione valida, con l'unica restrizione che il raggio deve essere positivo.

Una volta forniti i dati validi, devi fare clic sul pulsante "Calcola" e ti verranno mostrati tutti i passaggi del processo su come il cerchio viene messo in forma standard.

In termini generali, il calcolo della forma standard è abbastanza semplice quando si conoscono il raggio e il centro, come vedremo nelle sezioni seguenti.

Qual è la forma standard di un cerchio?

Come spesso accade in matematica, gli oggetti matematici comunemente usati possono essere espressi in modi diversi. Ad esempio, per le righe abbiamo il forma standard della linea e il forma dell'intercetta della pendenza . Per i cerchi succede qualcosa di simile. Un cerchio è in forma standard se è espresso nella forma seguente:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

In questo caso, sappiamo che \(r\) è il raggio del cerchio e \((x_0, y_0)\) è il centro del cerchio.

Quali sono i passaggi per trovare la forma standard del cerchio?

• Passaggio 1: identifica quali informazioni hai a disposizione. Il processo dipenderà dal fatto che tu abbia il raggio e il centro o se hai un'equazione in forma generale
• Passaggio 2: se hai il raggio r e il centro, tutto ciò che devi fare è collegarli all'equazione: \(\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\)
• Passaggio 3: se hai un'equazione generale del cerchio, raggiungi la forma standard conducendo a completare il processo quadrato , per entrambe le variabili x e y

Quindi, procederai al calcolo del equazione del cerchio in base al tipo di informazioni che hai a disposizione. Più comunemente avrai un raggio e un centro forniti, e questo è il caso più semplice. Ma non è raro dover completare i quadrati da un'equazione generale.

Difficoltà nel trovare l'equazione standard di una circonferenza

Come accennato in precedenza, il caso facile è quando vengono forniti il raggio e il centro, ma non è sempre così, poiché spesso inizierai con un equazione quadratica generale e dovrai completare i quadrati per arrivare all'equazione standard del cerchio.

Come passare dal modulo generale a quello standard per un cerchio?

• Passaggio 1: è necessario eseguire un processo di completamento dei quadrati per ciascuna delle variabili xey. Inizia raggruppando i termini con x e i termini con y
• Passaggio 2: per ogni variabile, ad esempio x, identifichi quali termini vanno con x^2 e lo fattorizzi
• Passaggio 3: forza la creazione di un termine come 2*"qualcosa"*x e aggiungi e sottrai "qualcosa" che hai trovato

Per maggiori dettagli, controlla questo completare il calcolatore dei quadrati .

Perché dovrebbe interessarsi della forma standard di un cerchio?

Il modulo standard ti dirà tutto ciò che devi sapere su un cerchio, perché puoi vedere visivamente, direttamente dall'equazione qual è il raggio e qual è il centro.

Questo è diverso dal caso del equazione espansa di un cerchio , dove a prima vista non si può dire nulla del raggio o del centro.

Esempio: calcolo dell'equazione in forma standard di un cerchio

Ottenuta l'equazione standard di una circonferenza dato che il suo raggio è r = 3/4, ed è centrata in (2, 1).

Soluzione: Dobbiamo trovare la forma standard di un cerchio, dove il raggio fornito è \(r = \displaystyle \frac{3}{4}\) e il centro fornito è \((\displaystyle 2, 1)\).

L'equazione del cerchio in forma standard ha la seguente struttura:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

dove \(x_0\) e \(y_0\) sono le coordinate xey corrispondenti del centro e \(r\) è il raggio. Pertanto, tutto ciò che dobbiamo fare per determinare completamente la forma standard del cerchio è identificare chiaramente il centro e il raggio e inserirli nella formula sopra.

In questo caso, dalle informazioni fornite sappiamo già che \(x_0 = \displaystyle 2\) e \(y_0 = \displaystyle 1\), e \(r = \frac{3}{4}\). Inserendo questo otteniamo:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]\[\Rightarrow \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{9}{16} \]

Questo conclude il calcolo. Abbiamo trovato che l'equazione del cerchio in forma standard è \(\displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{9}{16} \)

Esempio: equazione in forma standard di un calcolo del cerchio

Supponiamo che un cerchio sia centrato all'origine e che il suo raggio sia 5/4. Trova la forma standard della sua equazione

Soluzione: Dobbiamo trovare la forma standard di un cerchio, dove il raggio fornito è \(r = \displaystyle \frac{5}{4}\) e il centro fornito è \((\displaystyle 0, 0)\).

L'equazione del cerchio in forma standard ha la seguente struttura:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

dove \(x_0\) e \(y_0\) sono le coordinate xey corrispondenti del centro e \(r\) è il raggio. Pertanto, tutto ciò che dobbiamo fare per determinare completamente la forma standard del cerchio è identificare chiaramente il centro e il raggio e inserirli nella formula sopra.

In questo caso, dalle informazioni fornite sappiamo già che \(x_0 = \displaystyle 0\) e \(y_0 = \displaystyle 0\), e \(r = \frac{5}{4}\). Inserendo questo otteniamo:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle x^2+y^2=\left(\frac{5}{4}\right)^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle x^2+y^2=\frac{25}{16} \]

Questo conclude il calcolo. Abbiamo trovato che l'equazione del cerchio in forma standard è \(\displaystyle x^2+y^2=\frac{25}{16} \)

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