Maggiori informazioni su questo risolutore di sistemi di equazioni

Questa calcolatrice consente di calcolare la soluzione di un sistema di equazioni lineari, a condizione che il numero di equazioni sia uguale al numero di variabili, e di definire un sistema composto da un massimo di cinque variabili e cinque equazioni.

Risolvere un sistema di equazioni può essere laborioso e richiede molti calcoli, specialmente per sistemi di grandi dimensioni.

Come risolvere un sistema di equazioni

Esistono diverse strategie, ma le più utilizzate sono:

• Il metodo grafico
• Il metodo di sostituzione
• Il metodo di eliminazione

Questi metodi sono ampiamente utilizzati, specialmente per il sistema 2x2 (vale a dire, sistemi con 2 variabili e 2 equazioni). Il problema con questi metodi è che diventano ingombranti per i sistemi più grandi.

E il metodo grafico è applicabile solo per i sistemi 2x2. Per sistemi di grandi dimensioni è possibile utilizzare regole più sistematiche come l'eliminazione gaussiana e Il metodo di Cramer .

Esistono diversi metodi che possono essere utilizzati per calcolare soluzioni di sistemi di equazioni lineari, ma preferiamo utilizzare il Regola di Cramer approccio, in quanto è uno dei modi più semplici per richiamare il calcolo delle soluzioni di sistema.

Come risolvere un sistema di equazioni con questa calcolatrice

1. Decidere la dimensione del sistema (numero di variabili e numero di equazioni). Le opzioni sono sistemi 2x2, 3x3, 4x4 e 5x5
2. Una volta specificata la dimensione, è necessario specificare i coefficienti associati a ciascuna variabile
3. Se non viene utilizzato un coefficiente, lasciarlo vuoto o digitare 0
4. Fai clic su "Calcola" e questo risolutore ti mostrerà tutti i passaggi e le soluzioni

La regola di Cramer è strettamente correlata a questo calcolatore di soluzioni di un sistema di equazioni mediante matrici , quindi puoi anche utilizzare quel percorso.

È un risolutore di sistema di 5 equazioni

Sì, con questo risolutore puoi ottenere le soluzioni per sistemi fino a 5 equazioni e 5 variabili. La metodologia per più variabili ed equazioni non cambia realmente, ma i calcoli manuali diventano molto lunghi. Quindi per più di 5 equazioni potresti voler risolverlo con un computer.

Come si risolve un sistema di equazioni usando questo risolutore?

Fase 1: È necessario specificare il sistema di equazioni che si desidera risolvere, compilando gli spazi vuoti con i coefficienti del sistema. Osservare che quando una variabile non è nell'equazione, il suo coefficiente dovrebbe essere impostato su zero.

Passo 2: Basta fare clic su "Calcola" e questo risolutore farà il resto. Per prima cosa, la calcolatrice troverà la forma a matrice.

Fase 3: Il risolutore calcolerà il determinante della matrice A. Se det(A) = 0, sappiamo che il sistema non avrà una soluzione univoca.

Passaggio 4: La calcolatrice calcolerà la matrice aggiunta.

Passaggio 5: Il risolutore utilizza la formula della regola di Cramer per calcolare le soluzioni corrispondenti:

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Quindi, come risolveresti un'equazione a 6 variabili?

Sarebbe esattamente lo stesso approccio, solo che il calcolo della matrice aggiunta sarebbe potenzialmente molto laborioso. Faresti meglio con un CAS come Mathematica o Matlab per ottenere le soluzioni, saltando tutto il passaggio, che potrebbe essere troppo esteso.

Puoi usare Excel per risolvere un sistema di equazioni?

Tecnicamente è possibile, utilizzando alcune funzioni di gruppo speciali, come "=MMULT", ma di solito l'utente medio di Excel non sa come farlo, in genere.

Il vantaggio di questo risolutore di sistema di equazioni con passaggi è che tutto ciò che devi fare è specificare il Sistema di equazioni si desidera risolvere, utilizzando un visualmente intuitivo da. Da quel momento in poi, tutto ciò che devi fare è fare clic su "Calcola" per ottenere il calcolo passo dopo passo.

Esempio di soluzione di un sistema di equazioni

Considera il seguente sistema di equazioni

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, & z & \, = \,3\\2 x&\, + \, &2 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Risolvi il sistema di cui sopra usando la regola di Cramer, mostrando tutti i passaggi.

Soluzione: È stato fornito un sistema \(3 \times 3\) di equazioni lineari.

Passaggio 1: trova la struttura a matrice corrispondente

Il primo passo consiste nel trovare la matrice corrispondente \(A\) e il vettore \(b\) che consentono di scrivere il sistema come \(A x = b\).

In questo caso, e in base ai coefficienti delle equazioni fornite, lo otteniamo

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

e

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Passaggio 2: calcola il determinante della matrice

Ora, dobbiamo calcolare il determinante di \(A\) per sapere se possiamo usare o meno la regola di Cramer:

Utilizzando la formula del sottodeterminante si ottiene:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 0 \right) = 2\]

Poiché \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\), concludiamo che la matrice è invertibile, e possiamo continuare con l'uso della Regola di Cramer.

Passaggio 3: calcolo delle soluzioni

Ora, dobbiamo calcolare ciascuna delle soluzioni \(x_j\), usando la formula:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

dove \(A^j\) corrisponde esattamente alla matrice \(A\) tranne che la colonna j è sostituita da \(b\).

Per \(x\):

Utilizzando la formula del sottodeterminante si ottiene:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 3 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -7 \right) + 1 \cdot \left( -3 \right) = 12\]

Ora scopriamo che usando la formula di Cramer, \(x\) viene calcolato come

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 12 }{ \displaystyle 2} = 6 \]

Per \(y\):

Utilizzando la formula del sottodeterminante si ottiene:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -7 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 3 \right) = -5\]

Ora scopriamo che usando la formula di Cramer, \(y\) viene calcolato come

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -5 }{ \displaystyle 2} = -\frac{5}{2} \]

Per \(z\):

Utilizzando la formula del sottodeterminante si ottiene:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 3 \right) - 3 \cdot \left( 3 \right) + 3 \cdot \left( 0 \right) = -3\]

Ora scopriamo che usando la formula di Cramer, \(z\) viene calcolato come

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -3 }{ \displaystyle 2} = -\frac{3}{2} \]

Quindi, e riassumendo, la soluzione è

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 6\\\\\displaystyle -\frac{ 5}{ 2}\\\\\displaystyle -\frac{ 3}{ 2} \end{bmatrix} \]

che conclude il calcolo delle soluzioni per il dato sistema lineare.