Risolvere un sistema di equazioni usando le matrici

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari può essere facilmente una delle abilità più pratiche che imparerai mai in Algebra, o anche in matematica in generale.

La ragione di ciò è che innumerevoli applicazioni della vita reale che sono davvero utili risultano risolte utilizzando sistemi di equazioni lineari.

Esistono molte metodologie per risolvere i sistemi, che di solito utilizzano approcci diversi. Un approccio comune è l'approccio a matrice, che consiste nel primo convertire il sistema di equazioni nella sua forma matriciale .

Come si risolve un sistema di equazioni usando le matrici?

Fase 1: Converti le equazioni lineari in una matrice da, dove identifichi le variabili \(A\) (la matrice dei coefficienti che moltiplicano le corrispondenti) e \(b\) (il vettore dei coefficienti di destra).

Passo 2: Calcola l'inversa della matrice \(A\), che chiamiamo \(A^{-1}\).

Smusso 3: La soluzione del sistema risulta essere \(x = A^{-1} b\). In parole povere, moltiplichi l'inverso di \(A\) per \(b\) per ottenere il vettore con le soluzioni.

Si noti che questo sembra abbastanza semplice, ma ci sono molti calcoli coinvolti per trovare l'inverso \(A^{-1}\), in particolare se la dimensione della matrice è grande. Per un 4x4 e oltre può diventare piuttosto lungo.

Quindi, come puoi risolvere i sistemi su una calcolatrice?

I dettagli variano in modo specifico, a seconda di ciascuna calcolatrice. Ogni macchina avrà il suo stato e il suo formato per inserire un sistema. Nel caso del nostro calcolatore, ottieni un chiaro panorama visivo dei coefficienti che devi compilare per specificare il sistema. Successivamente, la calcolatrice ti mostrerà tutti i passaggi pertinenti.

Che cos'è la consistenza di un sistema di equazioni lineari

Coerenza significa che l'equazione non porta a qualcosa di impossibile, come "2 = 3". Tipicamente, prima di tentare di risolvere un sistema, nel caso in cui si abbia lo stesso numero di equazioni e variabili, si calcola prima il determinante della matrice.

Se il determinante è diverso da zero, allora puoi procedere tranquillamente con il calcolo dell'inverso, e hai la certezza che il sistema non presenta alcuna incoerenza.

Cosa fare se la matrice non è al quadrato: eliminazione di gauss

Questo metodo per risolvere un sistema calcolando l'inverso della matrice dei coefficienti A e moltiplicandolo per b funziona solo quando il numero di variabili è uguale al numero di equazioni. In caso contrario, sarebbe opportuno utilizzare l'eliminazione di Gauss.

Esempio

Considera il seguente sistema di equazioni:

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2\\ x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,3 \end{aligned}\]

Risolvi il sistema precedente usando le matrici.

Soluzione: È stato fornito un sistema \(3 \times 3\) di equazioni lineari e dobbiamo risolvere questo sistema usando le matrici.

Passaggio 1: trova la struttura a matrice corrispondente

Il primo passo consiste nel trovare la matrice corrispondente \(A\) e il vettore \(b\) che consentono di scrivere il sistema come \(A x = b\).

In questo caso, e in base ai coefficienti delle equazioni fornite, lo otteniamo

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

e

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Passaggio 2: calcola il determinante della matrice

Ora, dobbiamo calcolare il determinante di \(A\) per sapere se possiamo o meno calcolare l'inverso della matrice \(A\):

Utilizzando la formula del sottodeterminante si ottiene:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( 0 \right) = 1\]

Poiché \(\det(A) = \displaystyle 1 \ne 0\), concludiamo che la matrice è invertibile, e possiamo continuare con il calcolo dell'inversa.

Passaggio 3: calcolo dell'inverso

Ora calcoliamo la matrice dei minori. Abbiamo che, per definizione, la matrice dei minori \(M\) è definita dalla formula

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

dove in questo caso \( A^{i,j}\) è la matrice \(A\) dopo aver eliminato la riga \(i\) e la colonna \(j\).

Pertanto, sulla base della matrice \(A\) fornita, si ottengono i seguenti coefficienti della matrice dei minori:

Per \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Per \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Per \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Per \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

Per \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 2\]

Per \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Per \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Per \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

Per \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Riassumendo, la matrice dei minori è:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Ora, possiamo calcolare gli elementi della matrice dei cofattori \(C\) utilizzando la formula

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

La formula precedente può essere utilizzata direttamente perché i minori sono già noti. Otteniamo

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 1 = (-1)^{ 2} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 0 = (-1)^{ 3} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 2 = (-1)^{ 4} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \cdot 1 = (-1)^{ 5} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 1 = (-1)^{ 6} \cdot 1 = -1\]

Quindi, la matrice del cofattore è:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

A questo punto, è sufficiente trasporre la matrice cofattrice che abbiamo trovato per calcolare la matrice adiacente. Otteniamo:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Infine, dobbiamo moltiplicare ogni componente della matrice aggiunta per \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1\), che non influisce sull'aggiunta. Quindi otteniamo:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Passaggio 4: calcolo delle soluzioni

Ora che conosciamo l'inverso \(A^{-1}\), il vettore delle soluzioni è calcolato come:

\[ x = A^{-1} b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle -1\cdot 1+\left(-2\right)\cdot 2+0\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle 0\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Quindi, e riassumendo, il vettore della soluzione è

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

che conclude il calcolo delle soluzioni per il dato sistema lineare.