L'equazione del cerchio
Un cerchio è una delle figure geometriche più importanti. Ha una notevole simmetria, basata sul fatto che TUTTI i punti del cerchio sono equidistanti dal centro, il che in inglese significa che tutti i punti del cerchio sono alla stessa distanza dal centro. Questa distanza comune \(r\) è chiamata il raggio del cerchio .
Il cerchio ha alcune importanti applicazioni geometriche, che lo rendono un oggetto davvero importante sia in geometria che in algebra.
Un'altra proprietà cruciale del cerchio è che è molto facilmente rappresentabile algebricamente. Ciò significa che possiamo facilmente impostare un'equazione per rappresentare tutti i punti in una data circonferenza. Per dirla più concretamente, considera il piano delle coordinate \(X - Y\). Tutto ciò significa che abbiamo gli assi X e Y, che sono perpendicolari tra loro
Equazione del cerchio
Parliamo ora dell'equazione che rappresenta tutti i punti di una data circonferenza. Infatti, per una circonferenza di raggio \(r\), la seguente equazione descrive i punti \((x, y)\) che si trovano sulla circonferenza:
\[\Large x^2 + y^2 = r^2\]Quanto sopra corrisponde all'equazione di un cerchio di raggio \(r\), con al centro situato in \((0,0)\), l'origine degli assi delle coordinate.
Quando il raggio è \(r = 1\), allora abbiamo quello che viene chiamato a cerchio unitario .
Osservando l'equazione sopra, l'interpretazione geometrica è che \(x\) e \(y\) sono i lati di un triangolo e \(r\) è la sua ipotenusa
Un altro modo per vedere l'equazione del cerchio è prendere la radice quadrata su entrambi i lati dell'equazione, quindi otterremmo \(\sqrt{x^2+y^2} = r\), che indica che per qualsiasi punto \((x,y)\) sul cerchio, il distanza dall'origine (in questo caso il centro del cerchio) è uguale a \(r\).
Equazione di un cerchio che non è centrato all'origine
Un vantaggio di lavorare su assi coordinati è che i punti sul cerchio e il centro possono essere localizzato negli assi e può essere rappresentato da un'equazione, come mostrato sopra. Ma in generale, il centro del cerchio non deve essere l'origine, può essere qualsiasi punto \((x_0, y_0\) negli assi coordinati, nel qual caso l'equazione del cerchio diventa:
\[\Large (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\]che è noto come il Equazione generale di un cerchio . Ad esempio, supponiamo di dover calcolare l'equazione di un cerchio di raggio \(r = 4\), che è centrato nel punto \((1,2)\). Quindi, in questo caso, abbiamo \(x_0 = 1\), \(y_0 = 2\) e \(r = 4\), quindi inseriamo semplicemente questi numeri nell'equazione sopra e otteniamo
\[\large (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4^2\]oppure possiamo anche scrivere
\[\large (x-1)^2 + (y-2)^2 = 16\]Esempio 1
Scrivi l'equazione della circonferenza di raggio 3, con centro all'origine. Utilizzando l'equazione, determinare se il punto (1, 2) appartiene o meno alla circonferenza.
Risposta:
Per prima cosa, determiniamo l'equazione della circonferenza. In questo caso, il cerchio è centrato all'origine, quindi \((x_0, y_0) = (0, 0)\). Quindi, l'equazione è
\[\large x^2 + y^2 = 3^2\]che è lo stesso di
\[\large x^2 + y^2 = 9\]Ora, la domanda è se il punto (1, 2) sia o meno sul cerchio. Sappiamo che i punti del cerchio saranno tali che \(x^2 + y^2 = 9\).
Per il punto \((1, 2)\) otteniamo che \(x = 1\) e \(y=2\), quindi per questo caso di quel punto, \(x^2 + y^2 = 1^2 + 2^2 = 1+ 4 = 5\) che è diverso da 9, e quindi \((1,2)\) non appartiene al cerchio.
Maggiori informazioni sull'equazione del cerchio
Il cerchio è un'entità matematica così importante che sono stati scritti volumi di libro su di esso. I cerchi incrociano la geometria, la trigonometria e l'algebra, quindi è per questo che è come l'aspetto trasversale ovunque in matematica.
Come elaborare l'equazione di un cerchio?
Quando lavoriamo con un cerchio, ci sono diverse cose su cui lavorare. La prima cosa è costruire l'equazione del cerchio. Si consideri, ad esempio, un cerchio di raggio \(r = 3\), centrato nel punto \((1,1)\).
Sulla base dell'equazione generale di un cerchio, l'equazione è
\[\large (x-1)^2 + (y-1)^2 = 3^2\]L'equazione di cui sopra può essere utilizzata, ad esempio, per determinare se un punto appartiene o meno al cerchio. Cos'altro puoi fare per calcolare l'equazione del cerchio? Potresti potenzialmente espandere i quadrati, quindi otteniamo
\[\large x^2 - 2x + 1 + y^2 -2y + 1 = 9\]che può essere semplificato in
\[\large x^2 - 2x + y^2 -2y = 7\]Quindi, entrambe le equazioni sono equivalenti, nel senso che determinano lo stesso cerchio. Quale preferisci? \((x-1)^2 + (y-1)^2 = 3^2\) o \(x^2 - 2x + y^2 -2y = 7\)? È una questione di gusti e per cosa useresti la formula.
Area di un cerchio
È interessante notare che per calcolare il Area Di Un Cerchio , non hai bisogno dell'equazione completa, devi solo conoscere il raggio. In altre parole, il area e circonferenza di un cerchio non dipendono dal suo centro.
L'equazione di una circonferenza è una funzione?
Questa è una domanda che molti studenti hanno e dobbiamo chiarire. Innanzitutto il equazione del cerchio è un'equazione, non una relazione o una funzione.
Ora, l'equazione del cerchio determina una relazione, e non a funzione , quando algebricamente risolvere per y in termini di x . Infatti, se risolviamo per \(y\) otteniamo:
\[\large x^2 + y^2 = 9 \Rightarrow y^2 = 9 - x^2 \] \[\large \Rightarrow y = \pm \sqrt{ 9 - x^2} \]Ciò significa che per un dato \(x\), ci sono due valori di \(y\) che sono associati, che sono \(\sqrt{ 9 - x^2}\) e \(-\sqrt{ 9 - x^2}\), il che indica che l'equazione del cerchio determina un relazione invece di una funzione.
Un caso specifico del cerchio è il cerchio unitario , con equazione \(x^2 + y^2 = 1\), cioè centrata nell'origine. Il cerchio unitario è particolarmente adatto per lavorare espressioni trigonometriche in modo molto visivo.