Informazioni su questo calcolatore di regole di cramer

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari è uno degli oggetti più importanti in Algebra. Questo perché molte applicazioni diverse portano direttamente alla risoluzione di tali sistemi.

Potrebbe essere che stai lavorando con un problema di parole o assegnando diete ottimali ai soldati nell'esercito, ti imbatterai in una specie di sistema lineare.

E Regola di Cramer è uno degli approcci più comuni alla risoluzione di grandi dimensioni sistemi di equazioni lineari , soprattutto quando il numero di equazioni è uguale al numero di variabili.

Non è che la Regola di Cramer semplifichi il numero di operazioni necessarie per risolvere un sistema di equazioni, la sua fama si basa sul fatto che è una regola facile da memorizzare.

Primo: come viene calcolata la regola di cramer?

Fase 1: Affinché la regola di Cramer funzioni, è necessario iniziare con un sistema di equazioni che abbia lo stesso numero di equazioni del numero di variabili. Se non è così, fermati, non puoi usare la regola di Cramer.

Passo 2: Identificare il sistema di equazioni in forma matriciale: \(Ax = b\), dove \(A\) è una matrice \(n \times n\) che contiene i coefficienti che moltiplicano le variabili e \(A_{ij}\) è il coefficiente che moltiplica j ^th variabile nella i ^th equazione, e \(b\) è un vettore di dimensione \(n\) che raccoglie tutto il lato destro di ciascuna delle equazioni.

Smusso 3: Calcola il determinante della matrice \(A\). Se \(\det(A) = 0\), il sistema ha più di una soluzione e la regola di Cramer non può fare nient'altro.

Passaggio 4: Definisci la matrice associata \(A^{j}\) come la matrice \(A\), tranne per il fatto che la colonna j della matrice \(A\) è sostituita da \(b\).

Passaggio 5: Se \(\det(A) \ne 0\), esiste un'unica soluzione e i componenti \(x_j\) , con \(j = 1, 2, ..., n\) sono calcolati come

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Come si esegue la regola di cramer su una calcolatrice?

Diversi calcolatori condurranno la regola di Cramer per te, ma la maggioranza non ti mostrerà i passaggi. Il nostro calcolatore ti guiderà attraverso tutti i passaggi, con tutti i dettagli.

Come si risolve una matrice 4x4 nella regola di cramer?

Uno dei motivi per cui la regola di Cramer è così popolare è che la sua formulazione non cambia molto, se non del tutto, per le diverse dimensioni del sistema.

In effetti, fare la regola di Cramer per un sistema 4x4 non è più difficile che farlo per un sistema 2x2 (a parte il calcolo dei determinanti coinvolti sarà più laborioso)

In definitiva, indipendentemente dalle dimensioni del sistema, si calcolano le soluzioni in base a

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

il che significa che prendi la matrice originale e sostituisci una colonna di \(A\) con \(b\) e calcoli i determinanti e trovi il loro quoziente.

Come eseguire il calcolatore delle regole di cramer per ax=b

Risolvere ax=b in questo contesto si riferisce alla risoluzione di \(Ax = b\) a livello di matrice. Quindi il trucco per usare correttamente la regola di Cramer è convertire correttamente un dato sistema di equazioni in un'equazione matriciale della forma \(Ax = b\).

Esempio di utilizzo della regola di cramer

Question: È stato fornito il seguente sistema \(3 \times 3\) di equazioni lineari:

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &2 z & \, = \,5\\ x&\, + \, &2 y&\, + \, &8 z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Risolvi il sistema di cui sopra usando la regola di Cramer, mostrando tutti i passaggi.

Soluzione:

Passaggio 1: trova la struttura a matrice corrispondente

Il primo passo consiste nel trovare la matrice corrispondente \(A\) e il vettore \(b\) che consentono di scrivere il sistema come \(A x = b\).

In questo caso, e in base ai coefficienti delle equazioni fornite, lo otteniamo

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{bmatrix} \]

e

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Passaggio 2: calcola il determinante della matrice

Ora, dobbiamo calcolare il determinante di \(A\) per sapere se possiamo usare o meno la regola di Cramer:

Utilizzando la formula del sottodeterminante si ottiene:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

Poiché \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\), concludiamo che la matrice è invertibile, e possiamo continuare con l'uso della Regola di Cramer.

Passaggio 3: calcolo delle soluzioni

Ora, dobbiamo calcolare ciascuna delle soluzioni \(x_j\), usando la formula:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

dove \(A^j\) corrisponde esattamente alla matrice \(A\) tranne che la colonna j è sostituita da \(b\).

Per \(x\):

Utilizzando la formula del sottodeterminante si ottiene:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 5 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 36 \right) + 4 \cdot \left( 4 \right) = -72\]

Ora scopriamo che usando la formula di Cramer, \(x\) viene calcolato come

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -72 }{ \displaystyle 2} = -36 \]

Per \(y\):

Utilizzando la formula del sottodeterminante si ottiene:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 36 \right) - 1 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( -1 \right) = 54\]

Ora scopriamo che usando la formula di Cramer, \(y\) viene calcolato come

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 54 }{ \displaystyle 2} = 27 \]

Per \(z\):

Utilizzando la formula del sottodeterminante si ottiene:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(5 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -4 \right) - 3 \cdot \left( -1 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = -4\]

Ora scopriamo che usando la formula di Cramer, \(z\) viene calcolato come

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -4 }{ \displaystyle 2} = -2 \]

Quindi, e riassumendo, la soluzione è

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -36\\\\\displaystyle 27\\\\\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

che conclude il calcolo delle soluzioni per il dato sistema lineare.