Calculateur de formule de distance

La distance entre deux points dans le plan euclidien est l'un des concepts de base de la géométrie. Bien qu'il ne s'agisse pas d'un concept statique ou universel, il existe de nombreuses mesures potentielles de "distance" en mathématiques.

En effet, différents types de géométrie peuvent utiliser différents types de distances. Et toutes ces géométries, y compris la géométrie euclidienne, définissent toutes des distances qui sont logiques et cohérentes, et qui possèdent toutes les propriétés attendues d'une distance.

Comment calculez-vous la distance ?

Cette calculatrice est basée sur la distance pour la géométrie euclidienne. Supposons que nous ayons deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\), alors la formule de distance est calculée comme suit, en utilisant la formule suivante :

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \]

Il s'agit généralement de la formule de la distance entre deux points, dont l'interprétation la plus courante est la distance physique réelle que nos sens perçoivent.

Pourquoi calculer la distance ?

La distance est l'une des notions géométriques les plus fondamentales que l'homme possède, et le concept de distance est à la base de nombreuses idées en géométrie, qui à leur tour donnent naissance aux mathématiques en tant que discipline.

Le calcul des distances est lié à de nombreux aspects pratiques, tels que la distance à laquelle se trouvent les choses, en particulier lorsque les choses ne sont pas très proches, pour lesquelles une notion claire de la distance joue un rôle crucial.

Explication de la formule de la distance

L'expression ci-dessus définit comment utiliser la formule pour les deux points donnés. Ce qui est fait est simple : la première composante du point 1 et la première composante du point 2 sont soustraites, et le résultat est élevé au carré.

La même chose est faite pour le deuxième point : la deuxième composante du point 1 et la deuxième composante du point 2 sont soustraites, et le résultat est élevé au carré. On additionne ces deux valeurs au carré et on prend la racine carrée du résultat. Le nombre final obtenu est la distance

Comment résoudre les problèmes de distance ?

Il n'y a pas de réponse unique à cette question, car les problèmes de distance peuvent prendre différentes formes. En général, on vous donnera deux points et on vous demandera de calculer la distance . Il s'agit probablement du type le plus facile à obtenir.

Mais ensuite, vous pouvez aller aussi loin que vous le souhaitez. Par exemple, vous donnez aux cercles (avec les équations du cercle ), et demander quels points des cercles se trouvent à une certaine distance fixe et donnée \(D\). Ce problème est nettement plus difficile que le précédent.

Les questions sur les formules de distance peuvent se présenter sous toutes les formes, et elles peuvent être aussi difficiles que vous pouvez l'imaginer. Bien sûr, dans un cours de base, vous ne ferez probablement qu'appliquer la formule directement.

Quel est un exemple de distance ?

Les distances géométriques sont les exemples les plus clairs de distances. Par exemple, si vous avez un carré du côté 2 dont le coin inférieur gauche est à l'origine, et vous voulez calculer la distance entre le coin inférieur gauche et le coin supérieur droit, vous calculez :

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \displaystyle \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 2)^2} = \displaystyle \sqrt{2^2 + 2^2} = \displaystyle \sqrt{8} = \displaystyle 2 \sqrt{2} \]

Il existe d'autres exemples de distance, avec une interprétation similaire, comme la distance que l'on trouve en physique. En effet, ces exemples sont étroitement liés, mais il existe de nombreuses subtilités.

Quel est le lien avec la formule du point médian ?

La Formule du point médian est étroitement liée à la formule de la distance, car le point médian est un point particulier qui a la propriété spéciale que la distance entre l'un des points et lui est égale à la moitié de la distance totale.

Exemples

Supposons que nous ayons deux points \((1, 3)\) et \((4, 8)\), la formule de distance est calculée comme suit :

\[ D = \displaystyle \sqrt{(1 - 4)^2 + (3 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

La racine carrée au-dessus de \(\sqrt 34\) ne peut pas être simplifiée davantage, c'est pourquoi nous la laissons ainsi. Parfois, on vous demandera de fournir une réponse décimale approximative, qui dans ce cas serait \(\sqrt 34 \approx 5.8310 \).

Plus d'exemples

Comment utiliser la formule de distance avec des fractions ? Il s'agit de la même mécanique. Supposons que nous ayons deux points \((\frac{1}{2}, \frac{1}{4})\) et \((\frac{3}{5}, \frac{3}{4})\), la formule de distance est calculée comme suit :

\[ D = \displaystyle \sqrt{ \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{10}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{100} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{50}} \approx 5.8310 \]

La distance doit-elle être en deux dimensions ?

Pas nécessairement. En fait, nous pouvons avoir deux points dans un espace à n dimensions : \(u = (u_1, u_2, ..., u_n)\) et \(v = (v_1, v_2, ..., v_n)\). La distance est alors calculée en élevant au carré les différences de toutes les composantes, en les additionnant et en prenant la racine carrée :

\[ D = \displaystyle \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + ... + + (u_n - v_n)^2} \]

La distance a-t-elle un rapport avec pythagore ?

Et comment ! Comme votre intuition vous le dit à juste titre, la racine carrée de la somme des carrés ressemble beaucoup à la racine carrée de la somme des carrés Théorème Pythagoricien et aussi ce que vous faites quand vous résoudre des triangles .

En effet, nous définissons la distance entre deux points selon la méthode géométrique de Pythagore, comme la taille de l'hypoténuse d'un triangle dont les sommets sont définis par les points donnés.

Ou bien, vous pouvez obtenir ces deux points et calculer l'indice point médian .