La distribution normale standard

La distribution normale standard est l'une des distributions les plus importantes car elle vous permet de calculer les probabilités associées à TOUTE distribution normale.

C'est vrai: si vous savez comment calculer les probabilités de distribution normale standard, vous pouvez calculer les probabilités de n'importe quelle distribution normale. Pourquoi donc?? En raison de la normalisation des scores vous permet d'avoir à des événements qui sont équivalents.

Qu'est-ce qu'une distribution normale standard?

Eh bien, c'est la première question évidente à laquelle nous devons répondre: quelle est la distribution normale standard. La réponse est simple, la distribution normale standard est la distribution normale lorsque la moyenne de la population \(\mu\) est de 0 et que l'écart-type de la population est de \(\sigma\) est de 1.

Les probabilités de distribution normale standard jouent un rôle crucial dans le calcul de toutes les probabilités de distribution normale.

En effet, considérons une variable de distribution normale \(X\), avec une population \(\mu\) et un écart type \(\sigma\). Si vous souhaitez calculer la probabilité de l'événement \( a \le X\le b\), nous faisons l'observation cruciale que les événements

\[ a \le X\le b \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, \displaystyle \frac{a- \mu}{\sigma} \le \frac{X- \mu}{\sigma} \le \frac{b - \mu}{\sigma}\] \[ \Leftrightarrow \,\,\, \displaystyle \frac{a- \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma}\]

sont équivalents. Donc en d'autres termes, l'informatique

\[ \Pr( a \le X\le b ) \]

est la même chose que l'informatique

\[ \displaystyle \Pr\left(\frac{a- \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma} \right)\]

Les valeurs \(\displaystyle \frac{a - \mu}{\sigma}\) et \(\displaystyle \frac{b - \mu}{\sigma}\) sont les z-scores correspondants des scores bruts \(a\) et \(b\), et ce sont la clé pour passer d'une distribution normale donnée à une distribution normale standard.

Comment calculer le score Z?

Comme on l'a vu dans l'exemple précédent, pour une variable de distribution normale \(X\), avec une population \(\mu\) et un écart type \(\sigma\), le score z d'un score brut donné \(x\) est calculé comme suit:

\[\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

Exemples

Supposons que vous vouliez savoir comment vous vous situez en termes de poids pour l'ensemble de votre population. Comment trouveriez-vous le score Z du poids? Eh bien, vous devez avoir votre poids, disons \(x = 170\) livres, et supposer que la moyenne de la population pour votre population est de \(\mu = 175\) livres, avec un écart-type de population de \(\sigma = 11\) livres.

Ensuite, le score z associé à votre poids serait

\[\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{170 - 175}{11} = 0.455 \]

Autres calculatrices normales

En utilisant d'autres calculatrices, vous pouvez calculer probabilités normales ou probabilités normales pour les distributions d'échantillonnage , qui dépendent ultimement du calcul des scores z et de l'utilisation de la distribution normale standard.