En savoir plus sur la distribution d'échantillonnage de la proportion de l'échantillon

La proportion de l'échantillon est définie comme \(\displaystyle \hat p = \frac{X}{n} \), où \(X\) est le nombre de cas favorables et \(n\) est la taille de l'échantillon. Cette situation peut être conçue comme \(n\) essais successifs de Bernoulli \(X_i\), tels que \(\Pr(X_i = 1) = p\) et \(\Pr(X_i = 0) = 1-p\). Dans ce contexte, le nombre de cas favorables est \(\displaystyle sum_{i=1}^n X_i\), et la proportion de l'échantillon \(\hat p\) est obtenue en faisant la moyenne de \(X_1, X_2, ...., X_n\). Cela indique que lorsque la taille de l'échantillon est suffisamment grande, nous pouvons utiliser l'approximation normale en vertu du théorème central des limites.

La moyenne et l'erreur standard de la proportion de l'échantillon sont:

\[\mu (\hat p) = p\] \[\sigma (\hat p) = \displaystyle \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

Par conséquent, lorsque la taille de l'échantillon est suffisamment grande, et \(np \geq 10\) et \(n(1-p) \geq 10\), alors nous pouvons approximer la probabilité \(\Pr( p_1 \le \hat p \le p_2)\) par

\[ \Pr( p_1 \le \hat p \le p_2) = \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}) \] \[\approx \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le Z \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} ) \]

Il est courant d'appliquer un facteur de correction de continuité \(cf = \frac{0.5}{n}\) pour compenser le fait que la distribution sous-jacente est discrète, en particulier lorsque la taille de l'échantillon n'est pas suffisamment grande. Si vous recherchez la distribution d'échantillonnage de la moyenne de l'échantillon, utilisez cette calculatrice au lieu