Le cercle de l'unité
La cercle unitaire est l'un des objets les plus reconnaissables en mathématiques, et il est très transversal dans plusieurs matières mathématiques, notamment l'algèbre, le calcul, la géométrie et la trigonométrie.
En effet, le cercle unité est l'un des "laboratoires" les plus utilisés pour comprendre de nombreux concepts mathématiques. Le cercle unité croise l'algèbre (avec l'équation du cercle), le calcul (avec les pentes, les lignes tangentes et les aires), la géométrie (avec les angles, les triangles et le théorème de Pythagore) et la trigonométrie (sinus, cosinus, tangente) en un seul endroit.
Qu'est-ce qu'un cercle unitaire ?
Le nom l'indique clairement : Le cercle unité est un cercle de rayon \(r=1\) qui, par commodité, est supposé être centré sur l'origine \((0, 0)\). Notez que nous parlons ici d'un cas bidimensionnel.
Angles et cercle unitaire
Le cercle unitaire, ou un cercle de rayon quelconque, est un moyen très pratique de travailler avec les angles. Rappelons que la mesure d'un angle est proportionnelle à la partie de la circonférence du cercle que l'angle parcourt.
Par exemple, si un angle couvre un quart de la circonférence et que son origine est la même que le centre du cercle, la mesure de l'angle est un quart de la mesure d'un angle complet, soit 360/4 = 90 o s'il est mesuré en degrés, ou \(2\pi/4 = \pi/2\) s'il est mesuré en radians
.Dans d'autres circonstances, l'origine de l'angle n'est pas la même que le centre du cercle, comme dans le cas du graphique ci-dessous :
Fonctions trigonométriques et cercle des unités
L'utilisation du cercle unitaire est très utile pour travailler avec les fonctions trigonométriques. En effet, il s'avère que si nous avons un point \((x,y)\) dans un cercle de rayon \(r\), alors nous avons que
\[\large \sin \alpha = \frac{y}{r}\] \[\large \cos \alpha = \frac{x}{r}\] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]où \(\alpha\) est l'angle indiqué dans la figure ci-dessous :
Mais lorsque \(r = 1\), c'est-à-dire lorsque le rayon est 1 (ce qui est le cas dans le cercle unitaire), on trouve que
\[\large \sin \alpha = y \] \[\large \cos \alpha = x \] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]
Par conséquent, l'utilisation des fonctions trigonométriques est beaucoup plus facile lorsque le rayon d'un cercle est égal à 1, et tout devient alors beaucoup plus visuel. De plus, nous pouvons utiliser des règles mnémotechniques telles que "le sinus d'un angle est le côté opposé" et "le cosinus d'un angle est le côté adjacent".
L'équation du cercle circonscrit
La grande question est donc de savoir quelle est la formule du cercle unitaire Pour un cercle unitaire centré sur l'origine, l'équation à laquelle satisfait tout point \((x, y)\) sur ce cercle est :
\[\large x^2 + y^2 = 1\]Toute paire \((x, y)\) appartenant à un cercle de rayon 1 doit satisfaire aux conditions ci-dessus. Si le point \((x, y)\) ne satisfait pas aux conditions ci-dessus, alors il n'appartient pas au cercle.
Quelle est la formule du cercle des unités en général ?
La formule ci-dessus ne représente que le cas le plus simple de cercle unitaire centré sur l'origine. Pour calculer la formule du cercle en général, pour le cercle unitaire centré sur \((x_0, y_0)\), nous devons utiliser la formule suivante :
\[\large (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = 1\]Pour ce cas plus général, vous pouvez utiliser ceci calculateur d'équation de cercle qui vous montre toutes les étapes pour arriver à la formule du cercle à partir d'une équation quadratique appropriée.
Comment mémoriser rapidement le cercle des unités ?
Bien que cela ne soit pas strictement nécessaire, il peut s'avérer utile de mémoriser les angles notables du cercle unitaire. Avec la facilité d'accès des calculatrices scientifiques, cela semble un peu un exercice inutile, mais cela vous aidera certainement à mieux comprendre le cercle unitaire.
Naturellement, vous ne pourrez pas apprendre TOUS les angles remarquables (ou peut-être le pourrez-vous), mais il est au moins bon de connaître les multiples les plus remarquables de \(\pi\), tels que \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\), etc.
Pourquoi l'appelle-t-on cercle unitaire ?
La réponse à cette question est simple : on l'appelle cercle unitaire parce que, premièrement, il s'agit d'un cercle et que, deuxièmement, son rayon est égal à 1. Donc le unité ou unitaire provient du fait que le rayon est de 1.
En algèbre, en calcul et en géométrie analytique, il est nécessaire d'utiliser le qualificatif "unité", car tous les cercles traités ne sont pas réellement des cercles unitaires. En trigonométrie, cependant, lorsque vous mentionnez un cercle, vous parlez généralement par défaut du cercle unitaire, à moins que cela ne soit explicitement spécifié.
Le cercle des unités est-il infini ?
Il y a plusieurs façons de répondre à cette question, et la réponse varie. Au sens d'une surface, le cercle unitaire n'est pas infini, car il a une surface égale à \(\p\).
On pourrait arguer que le cercle unitaire est formé d'un nombre infini de points, ce qui est vrai, et qui impliquerait qu'il est "infini" dans un certain sens.
La réponse dépend donc de ce que vous définissez comme "infini".
EXEMPLE 1
Le point \(\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) appartient-il au cercle unitaire ?
Réponse:
Nous devons vérifier que le point satisfait à l'équation définie ci-dessus. Nous obtenons :
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+ \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1 \]Donc dans ce cas, le point \( \displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) appartient bien au cercle unitaire
Exemple 2
Le point \(\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) appartient-il au cercle unitaire ?
Réponse:
Nous devons vérifier si le point satisfait ou non à l'équation définie ci-dessus. Nous obtenons :
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{4}{9} = \frac{25}{36} \]Dans ce cas, le point \( \displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) n'appartient PAS au cercle unitaire
En savoir plus sur le cercle de l'unité
L'une des questions que l'on me pose toujours est de savoir si l'équation du cercle unité décrit ou non une fonction. La réponse est NON. En effet, l'équation du cercle unitaire définit plutôt une relation.
Il y a au moins deux façons de le savoir. La méthode préférée des étudiants est le "test de la ligne verticale". Nous avons le graphique suivant :
Dans le graphique ci-dessus, on peut voir une ligne verticale qui traverse le graphique en plusieurs points. La conclusion est que le graphique représente une relation et non une fonction.
Maintenant, si vous voulez savoir ce qui se passe lorsque le rayon est différent de 1, et que le cercle n'est pas centré sur l'origine, consultez notre tutoriel sur le cercle général équation du cercle dans lequel le cas général est traité.
Comment convertir un cercle d'unités ?
Un cercle unitaire peut être converti en changeant son centre et son rayon. Bien entendu, en procédant ainsi, on obtient quelque chose qui n'est pas un cercle unitaire, mais un cercle général au lieu de cela.
Ces changements de centre et de rayon peuvent être considérés géométriquement comme une translation et un étirement, respectivement.
La fonction unité et les fonctions trigonométriques
Le cercle des unités est étroitement lié à toutes les fonctions trigonométriques. Le sinus et le cosinus sont directement représentés par les côtés des triangles dont les sommets sont situés sur le cercle. De plus, la mesure des angles en radians permet d'établir une association claire avec l'angle et la longueur de l'arc généré.
Les radians sont les mesures d'angle naturelles pour les cercles, bien que certaines personnes se sentent plus à l'aise avec les degrés. Utilisez cette méthode conversion de radians en degrés pour effectuer les conversions souhaitées si vous vous sentez plus à l'aise avec les degrés qu'avec les radians