En savoir plus sur ce calculateur de matrice de cofacteurs.

Les cofacteurs sont étroitement associés à l'inverse d'une matrice, et ils sont le tremplin de la méthode adjointe habitué calculer l'inverse d'une matrice (quand il existe).

Probablement sans le savoir, vous avez traité des cofacteurs lors du calcul d'un déterminant d'une matrice de 3x3 ou plus. Ainsi, comme vous le soupçonnez, les cofacteurs ont à voir avec les déterminants obtenus lors de la suppression d'une ligne et d'une colonne.

Comment trouver le cofacteur d'une matrice ?

La première chose est de calculer la matrice des mineurs. Ainsi, pour une matrice n x n \(A\) donnée, l'élément de la i-ème ligne et de la j-ème colonne de la matrice des mineurs est égal au déterminant de la sous-matrice formée en supprimant la i-ème ligne et j -ème colonne de la matrice donnée \(A\).

Donc, si nous appelons \(A[i,j]\) à la sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne de \(A\), nous définissons formellement la matrice des mineurs, \(M\) comme :

\[ M_{ij} = \det A[i,j]\]

Notez que si \(A\) est une matrice n x n, alors \(M\) est également n x n.

Alors, qu'est-ce qu'une matrice de cofacteurs ?

Presque là. Ainsi les mineurs sont la matrice qui contient tous ces déterminants des sous-matrices correspondantes obtenues en supprimant une ligne et une colonne. Le cofacteur c'est presque ça, sauf qu'on ajoute un signe (positif ou négatif), selon le i et le j.

En effet, la matrice des cofacteurs, \(C\) est définie comme :

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[i,j]\]

Cela ressemble à peu près à ce que vous utilisez lorsque vous calculez des déterminants, hein ? Donc, pour calculer la matrice des cofacteurs, vous devez calculer un tas de déterminants .

Comment utiliser cette calculatrice de matrice de cofacteur avec étapes

Pour utiliser ce calculateur de cofacteur, il suffit de fournir la matrice \(A\). Le calculateur vous guidera tout au long du processus de calcul des mineurs et des signes pour accéder aux cofacteurs.

Exemple de cofacteur Calcul matriciel

Question: Supposons que vous ayez la matrice suivante

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Solution: Nous devons calculer la matrice de cofacteur de la matrice \(3 \times 3\) qui a été fournie.

Nous calculons d'abord la matrice des mineurs. Nous avons que, par définition, la matrice des mineurs \(M\) est définie par la formule

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

où dans ce cas \( A^{i,j}\) est la matrice \(A\) après suppression de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\).

Par conséquent, et sur la base de la matrice \(A\) fournie, nous obtenons les coefficients suivants de la matrice des mineurs :

Pour \(A^{ 1, 1}\) :

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 5\]

Pour \(A^{ 1, 2}\) :

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Pour \(A^{ 1, 3}\) :

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

Pour \(A^{ 2, 1}\) :

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Pour \(A^{ 2, 2}\) :

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Pour \(A^{ 2, 3}\) :

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Pour \(A^{ 3, 1}\) :

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 3 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Pour \(A^{ 3, 2}\) :

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Pour \(A^{ 3, 3}\) :

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -1\]

En résumé, la matrice des mineurs est :

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Maintenant, nous pouvons calculer les éléments de la matrice de cofacteur \(C\) en utilisant la formule

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

La formule ci-dessus peut être utilisée directement car les mineurs sont déjà connus. On a

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 5 = (-1)^{ 2} \cdot 5 = 5\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = -1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 6} \left(-1\right) = 1\]

En résumé, la matrice des cofacteurs est :

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle -3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

ce qui conclut le calcul.