Calculerur d'inégalités de Markov

L'inégalité de Markov stipule que pour une valeur \(a > 0\), nous avons pour toute variable aléatoire \(X\) qui ne prend aucune valeur négative, la limite supérieure suivante est toujours observée:

\[\Pr(X \ge a) \le \displaystyle \frac{E(X)}{a} \]

L'inégalité de Markov est très importante pour estimer les probabilités, compte tenu de sa généralité en ce sens qu'elle s'applique à toute variable aléatoire non négative \(X\).

En effet, l'inégalité de Markov est cruciale pour prouver une inégalité largement utilisée, qui est L'inégalité de Chebyshev , et c’est le fondement d’une inégalité encore plus prononcée, qui est l’inégalité de Hoeffding.

Intuition de l'inégalité de Markov

Quelle est l'intuition derrière l'inégalité de Markov? Eh bien, tout d'abord, il y a le facteur clair que la probabilité sur une queue droite a une limite supérieure qui diminue de plus en plus à mesure que nous obtenons une queue droite plus éloignée, ce qui est en fait assez évident.

Observez la nature de l'inégalité, c'est-à-dire que \(\frac{E(X)}{a}\) n'est pas la valeur exacte de la probabilité de la queue, mais ce n'est qu'une borne supérieure. À quel point cette limite est-elle proche? Eh bien, nous savons maintenant que cela dépend de la distribution réelle, mais il existe pourtant des inégalités plus marquées comme l’inégalité de Hoeffding.

Mais pourtant, il existe une règle très claire en mathématiques: plus les hypothèses sont générales (moins spécifiques), plus le théorème est faible. Il est donc assez impressionnant que l'inégalité de Markov existe compte tenu de la nature très générale de ses hypothèses.

Par exemple, le règle empirique est une inégalité beaucoup plus serrée, mais elle fait une hypothèse beaucoup plus forte: que la distribution sous-jacente est normale. L'inégalité de Markov fonctionne pour n'importe quelle distribution (de variable non négative)