Comment utiliser ce calculateur de fonction linéaire inverse

L'idée de trouver l'inverse d'une fonction est un concept très important en algèbre. Il existe une définition formelle de la fonction inverse, qui prend différentes formes.

Une manière courante de définir la fonction inverse d'une fonction \(y = f(x) \) donnée est que \(f^{-1}(x)\) est l'inverse de \(f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x\), pour tout \(x\) dans un ensemble approprié.

Maintenant, calculer l'inverse d'une fonction en général n'est pas nécessairement un exercice algébrique simple, car il implique généralement Résoudre pour x à partir de la fonction originale \(y = f(x) \), qui pourrait être algébriquement difficile ou impossible.

Mais, lorsque vous traitez avec un fonction linéaire de la forme \(y = ax + b\), alors il devient un peu plus simple de Résoudre pour x et enfin trouver l'inverse.

Comment trouver l'inverse d'une fonction linéaire ?

Tout d'abord, vous commencez avec une fonction linéaire valide de la forme \(y = ax + b\). Votre première tâche consiste à Résoudre pour x :

\[ax = y-b\] \[\Rightarrow x = \frac{y-b}{a}\]

Maintenant, l'observation pointue que vous allez faire est, "que se passe-t-il si \(a = 0\)", et vous aurez raison à ce sujet. Il y a un problème lorsque \(a = 0\), auquel cas vous ne pouvez pas résoudre pour \(x\) et il n'y a pas d'inverse.

En effet, lorsque \(a = 0\) il s'avère que la fonction initiale était en fait \(f(x) = b\), qui est une constante, qui n'est pas injective, donc il n'y a pas moyen de lier images et pré-images de manière unique.

Mais nous sommes tous en affaires si \(a \ne 0\). Maintenant, vous remplacez \(x\) par \(f^{-1}(x)\) et \(y\) par \(x\), et vous obtenez la fonction inverse réelle :

\[\Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}\]

Comment utiliser cette calculatrice

La façon de trouver l'inverse d'une fonction linéaire avec des étapes consiste simplement à placer une fonction linéaire valide de la forme \(y = ax + b\).

Si vous fournissez une fonction linéaire valide, la calculatrice vous montrera toutes les étapes nécessaires pour arriver à l'inverse, et vous obtiendrez également un graphique de la fonction d'origine et son inverse, si l'inverse existe.

Notez que cette calculatrice ne fonctionne que pour les fonctions linéaires. Calculer l'inverse de fonctions qui ne sont pas linéaires peut être plus difficile, et ce n'est pas toujours possible.

Exemple

Trouvez la fonction inverse de la fonction linéaire suivante \(y = 3x - 2\).

Réponse:

Afin de trouver la fonction inverse de la fonction linéaire fournie, les étapes suivantes sont nécessaires.

Étape 1 - Résoudre pour x : La première étape pour trouver l'inverse de l'équation linéaire fournie consiste à résoudre pour \(x\) :

On nous a fourni l'équation suivante :

\[\displaystyle y=3x-2\]

En mettant \(x\) sur le côté gauche et \(y\) et la constante sur le côté droit, nous obtenons

\[\displaystyle 3x = y + 2\]

Maintenant, en résolvant pour \(x\), on obtient ce qui suit

\[\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\]

et en simplifiant tous les termes qui nécessitent une simplification, on obtient finalement le résultat suivant

\[\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\]

Par conséquent, sur la base de l'équation fournie, nous concluons que le résultat de la résolution de \(x\) à partir de l'équation donnée est \(\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\).

Étape 2 - Inverser les rôles des variables : Maintenant, pour trouver la fonction inverse, il suffit de changer la valeur de \(y\) par \(x\) et la valeur de \(x\) par \(f^{-1}(x)\) dans l'équation précédente, ce qui conduit à:

\[\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\]

Conclusion : Sur la base de l'équation fournie, on trouve que l'inverse de la fonction linéaire d'origine \(y=3x-2\) qui a été transmise est \(\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\).